2.1 锐角三角比 课件(共25张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共25张PPT)
第2章 解直角三角形
2.1 锐角三角比
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，BC＝35m，求AB.
A
B
C
分析：
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
A
B
C
50m
35m
B'
C '
根据“直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一
半”，即 ，可得AB′=2B′C′=100 m
【想一想】
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比
值都等于 .
A
B
C
A
B
C
A
B
C
在Rt△ABC中，如果∠A=30°，则AB与BC的关系总是_____.
即在直角三角形中，当一个锐角等于
45°时，不管这个直角三角形的大小如
何，这个角的对边与斜边的比都等
于 .
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝
45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什
么结论？
A
B
C
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°
时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也
是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
【归纳升华】
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝
90°，∠A＝∠A′＝α，那么 与 有什么关
系？你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
提示：两个三角形相似吗？
【合作探究】
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值．
【揭示新知】
1.经历锐角三角比的概念的探究.
2.正确理解三角比符号的含义，掌握锐角三角比的表示方法.
3.能根据定义求锐角的三角比.
正弦:如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对
边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA．即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作
cosA，即 .
∟
对边
a
斜边c
邻边b
A
C
B
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比.
余弦:
正切:
【探究新知】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，
sinA= ，求cosA，tanB的值.
A
B
C
6
解：∵sinA= ，
∴AB= =6× =10，
BC
AB
BC
sinA
又 AC= = 8，
∴cosA= ，tanB=
【例 题】
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
(1) 如图 ①sinA= （ ）
②sinB= （ ）
③sinA=0.6m.（ ）
④sinB=0.8. （ ）
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位.
（2)如图，sinA= （ ）
×
【跟踪训练】
3.如图
A
C
B
3
7
30°
则sinA=______.
1
2
2.如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,
cosA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
C
A
B
C
┌
4.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.填写下面内容.
A
B
C
D
(1)tanA =
=
AC
( )
CD
( )
(2)tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
AC
BD
5.如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB.
若AC=5,CD=3,求sinB的值.
┌
A
C
B
D
解: ∵∠B=∠ACD，
∴sinB=sin∠ACD.
在Rt△ACD中，AD=
sin ∠ACD=
∴sinB=
=4,
∴sinB=
1.在Rt△ABC中
2.锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角A的三角比.
1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A
的正弦函数值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的三分之一　　
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
2.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=4,则下列结论
正确的是( )
A. sinA= B. cosA=
C. sinB= D. cosB=
A
D
3.（东阳·中考）如图，为了测量河两岸A、B两点的距
离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那
么AB等于（ ）
A.a·sinα B.a·tanα
C.a·cosα D.
【解析】选B.在Rt△ABC中，tanα=
所以AB= a·tanα.
4.（常德·中考）在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( )
B．2
D．
答案:选C.
A．
C．
【解析】设小正方形的边长为1.取AB与格点的交点为D,AC与格点的交点为E，则
5.（晋江·中考）如图， 位于的6×6方格纸中，
则 ＝　　　.
A
B
C
＝
答案：
B
A
C
D
E
B
C
A
8
7
6．在Rt △ABC 中， ∠C= 90 ， BC=7，AB=8．
求cosA,cosB,sinA,sinB的值.　
答案：
求:AB,sinB.
10
┐
A
B
C
7、如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,
【规律方法】当直角三角形的锐角确定后，它的对边与邻边的比值也随之唯一确定；比值与三角形的大小无关，只与倾斜角的大小有关.
理想是指路明星。没有理想，就没有坚定的方向，而没有方向， 就没有生活。