2.4 解直角三角形 课件(共22张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共22张PPT)
2.4 解直角三角形
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系：a2+b2=_____.
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____.
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____,tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
1.明确直角三角形中五个元素的关系和解直角三角形的概念.
2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形.
3.通过解直角三角形的学习，培养分析问题，解决问题的能力，渗透数形结合的思想.
做一做：根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形（全等的直角三角形算一个）？
（１）一个锐角为40 .
（２）一个锐角为40 ，它的邻边长为3cm.
（３）一个锐角为40 ，它的对边长为3cm.
（４）一个锐角为40 ，它的斜边长为3cm.
（５）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.
（无数个）
（一个）
（一个）
（一个）
（一个）
从这些问题的结论，你猜想有什么规律？
根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹
角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如
图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.
A
B
C
利用计算器计算可得
将上述问题推广到一般情形，就是：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
A
你发现了什么
B
C
∠B AC BC
∠A ∠B AB
一角一边
（2）根据AC= ，BC=
你能求出这个三角形的其他元素吗？
（3）根据∠A=60°,∠B=30°,
你能求出这个三角形的其他元素吗
不能
你能求出这个三角形的其他元素吗
两角
两边
【合作探究】
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素, (其中至少有一个是边),
就可以求出其余三个元素.
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.
【归纳升华】
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
【想一想】
解直角三角形
1.两锐角之间的关系:
2.三边之间的关系:
3.边角之间的关系
∠A+∠B=90°.
a2+b2=c2.
A
C
B
c
b
a
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
解这个直角三角形.
A
B
C
【例题】
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）.
A
B
C
a
b
c
20
35°
你还有其他方法求出c吗？
在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A.已知一直角边一锐角
B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
D
【跟踪训练】
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）.
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.
1.(广东·中考)如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高
AD=4，cosB= ，则AC=____________。
【解析】因为∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，所以
∠B=∠CAD;因为cosB= ，所以在Rt△ADC中，
cos∠CAD= =cosB= ,又因为AD=4，所以AC=5.
答案：5
A
B
C
D
2．（重庆·中考）已知：如图，在Rt△ABC中∠C=90°， ．点D为BC边上一点且BD=2AD， ∠ADC=60°，求△ABC的周长.（结果保留根号）
在Rt△ADC中
∵
，∴
∴
在Rt △ABC中
∴
的周长
∵
∴
【解析】
.
.
.
，
，
，
.
3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形.
(1)b=5,∠A=30°；(2)
解：(1)∠B=90 –30 =60 .
(2)
∴∠A=30 ,∠B=60 .
由 ，得
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，
求△ABC的周长和tanA的值.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，
∴△ABC的周长为36，
5.（嘉兴·中考）设计建造一条道路，路基的横断面为梯
形ABCD，如图（单位：m）．设路基高为h，两侧与水平面
的夹角分别为α和β.已知 h=2,α=45°,CD=10，
（1）求路基底部AB的宽.
（2）修筑这样的路基1 000m，需要多少土石方？
在Rt△ADE中，∵
在Rt△CFB中，∵
∴
在梯形ABCD中，又∵EF＝CD＝10，
∴AB＝AE＋EF＋FB＝16（m）．
（2）在梯形ABCD中，∵AB＝16，
∴修筑1 000m路基，需要土石方：
于F ，
于E，则
【解析】（1）作
∴面积为
（m ），
人生伟业的建立 ，不在能知，而在能行。