2.5 解直角三角形的应用 第2课时 课件(共19张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共19张PPT)
2.5 解直角三角形的应用
第2课时
三边关系： a2+b2=c2
两锐角关系：∠A+∠B=∠C
直角三角形的边、角关系
c
a
b
A
B
C
边角关系： sinA=
cosA=
tanA=
1.明确坡角、坡度的概念，并能将之灵活应用于实际生活.
2.能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题.
3.会解决底部不能到达的物件高度的测量问题.
例1 如图，一艘海轮位于灯塔
P的北偏东65°方向，距离灯塔
80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
【例题】
65°
34°
P
B
C
A
北
解：如图，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8.
在Rt△BPC中，∠B＝34°，
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23n mile．
65°
34°
P
B
C
A
北
定义：如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡度（或坡比）.记作 i ,
坡面与水平面的夹角叫做坡角，
记作α，
则i＝ =tanα
想一想：坡度越大，坡角α 怎样变化？
即i=
例2 一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的夹角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1m）
分析：构造直角三角形，利用三角比解.
【例题】
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4.2（m），
CD＝EF＝12.51（m）．
在Rt△BCF中，因为
所以
在Rt△ADE中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1（m）．
答：路基下底的宽约为27.1 m．
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角α和β;
（2）求斜坡AB的长（精确到0.1m）.
【跟踪训练】
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°,
在Rt△CDE中，∠CED=90°,
例3 海中有一个小岛A，它的周围8n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12n mile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
B
A
D
60°
【例题】
B
A
D
F
解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°.
由图可知∠DAF=30°
设DF= x ,则AD=2x
在Rt△ADF中，根据勾股定理得
在Rt△ABF中，
解得x=6
因为10.4 > 8，所以没有触礁的危险.
30°
60°
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角比去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
1．（宿迁·中考）小明沿着坡度为1﹕2的山坡向上走了1000m，则他升高了（ ）
A
2．（达州·中考）如图，一水库迎水坡AB的坡度
则该坡的坡角α=______.
30°
3.如图所示，某河堤的横断面是四边形ABCD，
BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE= ,则河
堤的高BE长为 米．
B
C
D
E
A
12
4.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，某街道计划修建
一座横断面为梯形ABCD的过街天桥.若天桥斜坡AB的坡角为
35°，斜坡CD的坡度为i=1:1.2(垂直高度CE与水平宽度DE
的比)，上底BC=10m，天桥高度CE=5m，求天桥下底AD的长
度？(结果精确到0.1m,参考数据：sin35°≈0.57,cos35°
≈0.82,tan35°≈0.70).
23.1m
5.如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米
（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改
变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应
将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）
解：过A点作AE⊥CD于点E．
在Rt△ABE中，∠ABE=62°．
∴AE=AB sin62°=25×0.88≈22(米)，
BE=AB cos62°=25×0.47≈11.75(米)，
在Rt△ADE中，∠ADB=50°，
∴DB=DE﹣BE≈6.71(米)．
故此时应将坝底向外拓宽大约6.71米.
不要等待机会，而要创造机会。