3.1 圆的对称性 第1课时 课件(共19张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共19张PPT)
第3章 对圆的进一步认识
3.1 圆的对称性
第1课时
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国
隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推导过程；能初
步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题
的能力.
3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并
激发学生对数学的热爱．
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以折叠后两侧半圆重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO=BO=CO=DO，
O
O
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE，
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
垂径定理
【证明猜想】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
【解析】定理中两个条件（直径、直径垂直于弦）缺一不可，故前两个图均不能，第三个图可以！
【定理辨析】
例 如图，已知在圆O中，弦AB的
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
求圆O的半径.
E
O
A
B
【解析】根据题意得，
OE⊥AB，AE=4 cm，OE=3 cm，
在Rt△OEA中，根据勾股定理得：
AO2=OE2+AE2=32+42=25，
AO=5cm.
【例题】
变式1：AC，BD有什么关系？
变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝____, EC=_____.
FD
FB
变式4：______ AC=BD.
OA=OB
变式5：______ AC=BD.
OC=OD
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
M
P
B
O
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.
【解析】提示作OM 垂直于PB ，连接OA.
答案：
A
【跟踪训练】
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设
结论
①直线CD经过圆心O
②直线CD垂直弦AB
③直线CD平分弦AB
④直线CD平分
⑤直线CD平分
想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？
② ③
① ④⑤
① ④
②③⑤
②④
① ③ ⑤
①②⑤
①②④
④⑤
①②③
③④
③⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.
【推论1】
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
F
O
B
A
E
C
D
【推论2】
通过本课时的学习，需要我们：
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；
能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”
的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于
点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A.AE＝OE B.CE＝DE
CE
C.OE＝
D.∠AOC＝60°
B
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心
距为3,则AB的长是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
D
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
⊙O的半径为（ ）
A. B. C. D.
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD= =3,∴OD=3-1=2,
∴OB=
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6.
答案：6
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为
5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的
长是 ．
5.已知：如图，在以O为圆心
的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是 “正号”还是“负号”，倘若是“正号”，则进步；倘若是“负号”，就得吸取教训，采取措施。
——季米特洛夫