3.4 直线与圆的位置关系 第2课时 课件(共26张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共26张PPT)
3.4 直线与圆的位置关系
第2课时
（2）直线l 和⊙O相切
（3）直线l 和⊙O相交
d>r
d=r
dd
o
r
l
d
o
r
l
o
d
r
l
（1）直线l 和⊙O相离
圆和直线的位置关系
1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与
⊙O没有公共点，则d为（　 ）
A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的
位置关系是（　　）
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
3.判断:
若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( )
A
C
√
1．了解切线判定定理和性质定理，探索切线与切点、半径之间的关系.
2．能判定一条直线是否为圆的切线.
3．会过圆上一点画圆的切线.
O
l
A
【探究】请在⊙O上任意取一点A，连接OA,过点A作直线 l⊥OA.思考一下问题：
1.圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系
2.二者位置有什么关系？为什么？
3.由此你发现了什么？
发现：
(1)直线 l 经过半径OA的外端点A；
(2)直线l垂直于半径0A．
则:直线l与⊙O相切
这样我们就得到了从几何角度上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
A
O
l
切线需要满足的两个条件：
①经过半径外端；
②垂直于这条半径．
【归纳】
切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.
O
r
l
A
∵ OA是半径，
l ⊥ OA于点A,
∴ l是⊙O的切线.
定理的几何符号表达：
例 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线.
证明: 如图，连接OC
∵OA=OB, CA=CB，
∴△OAB是等腰三角形,
OC是底边AB上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线.
【例题】
.
A
B
D
C
O
1. AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线.
证明: 如图，连接OC，BC.
由AB为直径可得∠ACB=90°.
∠CAB=30°，可得BC= AB=OB，∠ABC= 60°， ∴△OBC为等边三角形.又BD=OB ∴ BC=BD，∠BCD=30°
∴ ∠OCB+ ∠BCD=90°，∴OC ⊥CD,
∴ DC是⊙O的切线.
【跟踪训练】
方法引导：当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连接圆心与公共点,再证明连线垂直于直线 ,这是证明切线的一种方法.
2.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.
【解析】△AED为直角三角形，理由如下：连接OE.
∵ DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，∠OED=90°，
即∠OEA+∠AED=90°.
又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠EAD.
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA.
∴∠AED+∠EAD=90°，
∴∠ADE=90°，
∴△AED为直角三角形.
F
E
3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,以点D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明AC是⊙D的切线.
【解析】 如图，作DE⊥AC，垂足为E.
在Rt△ABD和Rt△AED中，
∠B=∠AED=90°,
∠BAD=∠DAE,
AD=AD,
∴△ABD≌△AED.
∴DE=BD,
∴AC是⊙D的切线.
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法(d=r):到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【归纳】证明直线与圆相切有如下三种途径：
即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．
圆的切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
O
A
l
几何语言表示:
∵l是⊙O的切线，且OA为⊙O的半径
∴OA⊥l
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.切线的判定定理：过半径的外端并且垂直这于半径的直线是圆的切线.
2.切线的其他证明方法：①定义法；②数量关系法.
1.判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线． ( )
(2)垂直于半径的直线是圆的切线． ( )
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的
切线． ( )
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． ( )
×
×
√
√
2.(重庆·中考）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l
的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_______.
【解析】∵d=4＞r=3,∴直线l与⊙O的位置关系是相离.
答案：相离
3.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC
于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O 的切线．
D
E
C
A
O
B
证明: 连接OD，则OD=OB,∠B=∠ODB.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,∴∠ODB=∠C.
∴ OD∥AC.
∴∠ODE=∠DEC.∵DE⊥AC ,
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°,即DE⊥OD.
∴ DE是⊙O 的切线.
证明:过点O作OE⊥AC于点E,连接OD、OA.
∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形.
又∵OB=OC,
∴AO是∠BAC的平分线,
∵AD切⊙O于D, ∴OD⊥AD,
又∵ OE⊥AC ∴OE=OD,
∴ AC与⊙O相切.
4.如图所示，AB=AC，OB=OC，AD切⊙O于D.
求证：AC与⊙O相切.
A
D
B
O
C
E
·
5.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，
AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.
（2）如果∠BDE=60°， ，求PA的长.
【解析】（1）PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.
又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.
∴∠P=∠PDA=30°.
在Rt△PDO中，设OD=x,
∴
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）
∴PA=1.
【规律方法】证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；（2）连接圆心与圆上的点，证垂直.
一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。
——拉格朗日