3.4 直线与圆的位置关系 第3课时 课件(共24张PPT)2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共24张PPT)
3.4 直线与圆的位置关系
第3课时
P
B
A
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2.这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
130°
50°
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，理解数形结合的思想．
O
A
B
P
如何用圆规和直尺
作出这两条
切线呢？
.
思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,
连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上
O
·
P
A
B
O
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
O
P
A
B
比一比：
切线与切线长
O
A
B
P
1
2
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么
折一折
请证明你所发现的结论.
A
P
O
B
PA=PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
证一证
切线长定理
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
O
P
A
B
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
PA =PB
∠OPA=∠OPB
A
P
O
B
若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
OP垂直平分AB
M
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
试一试
A
P
O
.
B
若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∵PC=PC.
∴△PCA≌△PCB ，∴AC=BC.
C
.
P
B
A
O
（3）连接圆心和圆外一点
（2）连接两切点
（1）分别连接圆心和切点
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.
想一想
探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.
B
A
P
O
C
E
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
D
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
（3）写出图中所有的全等三角形
B
A
P
O
C
E
D
例1 如图.BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
【解析】
设AF=x cm,则AE=x cm
∴CD=CE=AC-AE=(13-x)cm
BD=BF=AB-AF=(9-x)cm
由BD+CD=BC可得
(13-x)+(9-x)=14
解得x=4
∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
【例题】
（口答）如图所示PA，PB分别切圆O于A，B，并与圆O的切线分别相交于C，D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数.
D
· O
P
B
C
A
E
答案：（1）14cm （2）67°
【跟踪训练】
例2 如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，
求证：AD+BC=AB+CD
证明：由切线长定理得
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即AB+CD=AD+BC，
补充：圆的外切四边形的两组对边
的和相等．
D
L
M
N
A
B
C
O
P
【例题】
如图，PA，PB与⊙O相切
于A,B，如果PA=4cm,
PD=2cm,求半径OA的长.
4
2
【解析】设OA=xcm；
在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,
由勾股定理，得
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2，
整理，得x=3，
所以半径OA的长为3cm.
【跟踪训练】
切线的6个性质：
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（6）切线长定理.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，
切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等
于（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.150°
C
2.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
∴周长为24cm
我之所以比笛卡儿看得远些， 是因为我站在巨人的肩上。
——牛顿