3.5 三角形的内切圆 课件 (共21张PPT)2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共21张PPT)
3.5 三角形的内切圆
（2）直线l和⊙O相切
（3）直线l和⊙O相交
d>r
d=r
dd
o
r
l
d
o
r
l
o
d
r
l
圆和直线的位置关系
（1）直线l和⊙O相离
1.使学生了解画三角形的内切圆的方法，了解三角形的内切圆、圆的外切三角形、三角形内心的概念.
2.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力.
3.激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动的热情．
从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切
A
B
C
A
B
C
●
┓
┗
┗
I●
┓
●
右上图就是所求圆的作法：
D
M
N
【探究一】
（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，则⊙I就是所求作的内切圆.
∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么 )
因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
A
B
C
I●
┓
●
E
F
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
这样的圆可以作出几个呢 为什么
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
A
B
C
A
B
C
●
●
●
C
A
B
┐
【探究二】
判断题：
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3.等边三角形的内心和外心重合（ ）
4.菱形一定有内切圆（ ）
5.矩形一定有内切圆（ ）
6.三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
错
错
对
对
错
对
【跟踪训练】
例 如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，
则∠BOC的度数________.
（2）若∠A=80°，则∠BOC=_______.
（3）若∠BOC=110°，则∠A=______.
A
B
C
O
130°
40°
120°
【例题】
1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,
∠C是直角, AC=3,BC=4.
求⊙O的半径r
●
A
B
C
┏
A
B
C
●
┏
O
●
┗
┓
O
D
E
F
┗
直角三角形的三边长与其内切圆半径间的关系
b
a
c
【跟踪训练】
2.已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,
周长等于10cm.
求内切圆⊙O的半径r.
斜三角形的三边长及面积与其内切圆半径间的关系
●
●
A
B
C
●
O
┓
E
D
┗
┗
F
3.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处
建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已
知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，
AC⊥BC，BC=30m，AC=40m.
求镇标雕塑中心M离道路三边
的距离有多远？
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
E
D
F
提示： AC⊥BC，BC=30m，AC=40m，得AB=50m.由
答：中心M离道路三边的距离有10m远.
本节课学习了以下内容：
1．作三角形的内切圆．
2．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．
A
B
C
D
E
F
1.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切
圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F.
求AE、CD、BF的长.
.
I
x
y
z
【解析】设 AE=x，BF=y，CD=z
x
y
z
答： AE 、CD 、BF的长分别是9、2、6.
x+y=15,
y+z=8,
x+z=11,
x=9,
y=6,
z=2.
则
解得
2.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
·O
·
P
证明：连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF.
∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.　
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，
又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.
3.（衡阳·中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：
（2）若tanC=
，DE=2，求AD的长．
【解析】(1)连接BD，
∵AB为直径，∠ABC=90°，
∴BE切⊙O于点B，因为DE切⊙O于点D，
所以DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
(2) 因为DE=2，
所以BC=4，在Rt△ABC中，tanC=
所以AB=BC·
=2
又因为△ABD∽△ACB，所以
，即
所以AD=
在Rt△ABC中，AC=
=6
奔向理想人生的征途是漫长的，但是只要坚强不屈地向前奋进，理想就一定会实现。