3.7 正多边形与圆 课件(共25张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共25张PPT)
3.7 正多边形与圆
你还能举出更多正多边形的例子吗？
1.了解正多边形与圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
正多边形：
___________，_____________的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
三条边相等，三个角也相等（60度）.
四条边都相等，四个角也相等（90度）.
各边相等
各角也相等
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
B
C
D
E
求证：正五边形的对角线相等
【想一想】
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？
怎样找圆的内接正方形？
怎样找圆的外切正方形？
怎样找圆的内接正n边形？
怎样找圆的外切正n边形？
E
F
G
H
A
B
C
D
0
A
B
C
D
例1 把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
【例题】
证明:(1)∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵BCE=CDA=3AB，
∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3=∠4=∠5，
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
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⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
⌒
5
·
O
（2）连接OA，OB，OC，则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
B
C
D
E
P
Q
R
S
T
O
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA，
⌒
⌒
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
把圆分成n（n≥3）等份：
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
【定理】
正三角形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
这两个圆有什么位置关系？
正方形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
【类比联想】
以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆
E
F
C
D
A
B
.
中心角
半径R
边心距r
O
E
F
C
D
O
A
B
G
R
a
.
中心角
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,边数为n，
圆的半径为R,它的周长为L=na.
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
1.各边相等，各角相等.
2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份.
3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成
n等份.
4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个
圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.
正多边形的性质
【归纳】
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形.
6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n-2)·180°/n .
7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距
【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
亭子地基的面积
D
O
A
B
C
E
F
R
P
r
【例题】例2 有一个亭子,它的地基是半径为4m的
正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
【跟踪训练】分别求出半径为R的圆内接正三角形、
正方形的边长、边心距和面积.
【解析】作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
·
A
B
C
D
O
∴AB=
∴S△ABC=
边心距＝OD=
连接OB，OC，作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°， ∠OBE=∠BOE=45°，
Rt△OBE为等腰直角三角形，
·
A
B
C
D
O
E
1.正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2.正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系．
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边
形；④正2n（n为正整数）边形；⑤任意的平行四边形.
是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的有
_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的
有_________.
①②③④
③④⑤
③④
2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比
为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，
中心角度数比是______.
3:4
9:16
3:4
1:1
3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的
______．
4.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的
________．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是
____度，半径是___，边心距是 ，它的每一
个内角是____．
中心
边心距
60
1
120°
6.正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相
等．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 度,
才能与原来的图形位置重合.
中心
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我的成功只依赖两条： 一条是毫不动摇地坚持到底;一条是用手把脑子里想出的图形一丝不差地制造出来。
—蒙日