4.2 用配方法解一元二次方程 第1课时 课件(共22张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共22张PPT)
第1课时
4.2 用配方法解一元二次方程
1.如果一个数的平方等于9，则这个数是 ，
若一个数的平方等于7，则这个数是 ．
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2.平方根的意义
3.用字母表示完全平方公式.
4.用估算法求方程x2-4x+2=0的解，你能设法求出其精确解吗？
±3
±
两个平方根，它们互为相反数
a2±2ab+b2=(a±b)2
如果x2=a（a≥0）,那么x=
1．知道开平方运算可以解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
2．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．
（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁
出一个面积为100cm2的正方形，请你帮他想一想
这个正方形的边长应为 ；若它的面积为
75cm2，则其边长应为 .
10cm
cm
（2）如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为
64cm2 ,则原来的正方形的边长为 cm。若变化后的面
积为48cm2呢？（小组讨论）
（3）你会解下列一元二次方程吗？
x2=5 (x+5)2=5 x2+12x+36=0
5
（4）上节课我们研究梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x的精确解吗 你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里 (小组交流）
将方程转化为（x+m)2=n(n≥0)的形式是解本题的难点，这种方法叫配方法．
1．x2+12x+ =(x+6)2
2．x2-6x+ =(x-3)2
3．x2-4x+ =(x - )2
4．x2+8x+ =(x + )2
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？
62
32
22
2
42
4
做一做：填上适当的数，使下列等式成立
解方程：x2+8x-9=0．
【解析】把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9
两边都加上42，得
x2+8x＋42=9＋42.
即（x+4）2=25
开平方，得x+4=±5,
即 x+4=5,或x+4=-5.
所以x1=1,x2=-9.
【例题】
当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.
这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
【定义】
【规律方法】利用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项：把常数项移到方程的右边;
（2）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方;
（3）变形：方程左边分解因式,右边合并同类项;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程；
（6）定解：写出原方程的解．
解下列方程:
(1)（常州 中考）
(2)
【解析】(1)移项，得 （2）移项，得
配方，得
配方，得
开平方，得
【跟踪训练】
1．配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
2．配方法解一元二次方程应注意什么问题？
将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出它的解．
关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数的一半的平方．
1.（安徽·中考）若n(n 0)是关于x的方程x2+mx+2n=0
的根，则m+n的值为 ．
答案： 2
2.（眉山 中考）一元二次方程 的解为
____________．
【解析】∵一元二次方程 ∴x2=3, ∴x=
∴x1= ，x2=－
答案：x1= ，x2=－
3.用配方法解下列方程:
（1）－2x+x2－3=0.
（2）x2+4=－8x.
【解析】（1）整理得x2－2x－3=0，
移项，得x2－2x=3，
配方，得x2－2x+（－1）2=3+（－1）2，
即 .
开平方，得 .
∴ ， .
（2）移项，得x2+8x=－4，
配方，得x2+8x+42=－4+42，
即 .开平方，得 .
∴ ， .
4.在数学活动课上，老师拿来一张面积为96㎝2的长方形卡纸，要大家把它剪成形状、大小完全一样的6个图形.小强剪完后，发现它们恰好均为正方形，于是同桌小雨马上断定小强的正方形边长为4㎝.你知道为什么吗？
【解析】设每一个小正方形的边长为ｘ㎝，根据题意，得
5.如图，在一块长和宽分别是16m和12m的长方形耕地上挖两条宽度相等的互相垂直的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半，试求水渠的宽度．
解法1：设水渠的宽为xm，根据题意得，
即x2-28x+96=0,
解得：x1= 4， x2=24（不合题意，舍去）
答：水渠宽为4m．
16-x
12-x
解法2：设水渠的宽为xm，根据题意得，
即x2-28x+96=0,
解得：x1= 4， x2=24（不合题意，舍去）
答：水渠宽为4m．
解法3：设水渠的宽为xm，根据题意得，
即x2-28x+96=0,
解得：x1= 4， x2=24（不合题意，舍去）
答：水渠宽为4m．
患难与困苦是磨炼人格的最高学府。
——苏格拉底