4.5 一元二次方程根的判别式 课件(共20张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共20张PPT)
4.5 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程的求根公式是什么？
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是已知数，a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，
进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，
当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；
当b2-4ac＜0时，方程无实数解(根)
3.用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0
⑵ x2－2
⑶ 2x2－2x＋1 = 0
x＋3 = 0
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
1.了解根的判别式概念.
2.能判断数字系数的一元二次方程根的情况.
3.能根据一元二次方程根的情况求未知系数的取值或取值范围．
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
（3）没有实数根
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
你能得出什么结论？
可以发现b2－4ac的符号决定着方程是否有解及解的个数。
概括总结：由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定
当b2－4ac＞0时，方程有___________________
当b2－4ac = 0时，方程有_________________
当b2－4ac ＜ 0时，方程___________
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式.
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac = 0
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，
所以方程的根的情况是 .
2.下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
-8
方程无实数根
D
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子
是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C.b2-4ac≤0 D.b2-4ac≥0
D
【跟踪训练】
【例1】不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）-x2+ x-6=0
（2）x2+4x=2
（3）4x2+1=-3x
（4）x2-2mx+4（m-1）=0
【例题】
解:（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0
∴该方程有两个相等的实数根
（2） 移项，得x2+4x-2=0
∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）
=16+8=24＞0
∴该方程有两个不相等的实数根
（3）移项，得4x2+3x+1=0
∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0
∴该方程没有实数根
（4）∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根
【例2】m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.
解：
∵不论m取何实数，总有（m+5）2≥0
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
∴不论m取何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
【例题】
【例3】m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-(4m+1)x
+2m2-1=0
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0
即8m+9=0
∴m=
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
∴b2-4ac=[-（4m+1）]2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，
即8m+9＞0
∴m＞
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0
∴m＜
∴(1)当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当m= 时，方程有两个相等的实数根；
(3)当m＜ 时，方程没有实数根
【例4】已知关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解：∵方程有两个不相等的实数根
即k＜ ，且k≠0
∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0，且k≠0
4k2+4k+1-4k2-12k＞0
-8k+1＞0
一元二次方程的根的情况与系数的关系？
b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式.利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况.
1.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一
元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是
（ ）
A.没有实数根
B.可能有且仅有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
A
2.不解方程，判断方程根的情况：
（1）x2+3x-1=0;
（2）x2-6x+9=0;
（3）2y2-3y+4=0
（4）x2+5= x
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个相等的实数根
3.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根.
解:方程有两个相等的实数根，所以（-k） -4×1×4=0，
解得k=±4
当k=4时，求出x1=x2=2
当k=-4时，求出x1=x2=-2
世界上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。