4.7 一元二次方程的应用 第1课时 课件(共28张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共28张PPT)
4.7 一元二次方程的应用
第1课时
1.列方程解应用题有哪些步骤
对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握.
2.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
3.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
4.菱形的面积公式是什么？
5.平行四边形的面积公式是什么？
6.圆的面积公式是什么？
1.了解几种特殊图形的面积公式.
2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题.
例1 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度
27
21
【解析】这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7.
【例题】
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm
依题意得
解得
左、右边衬的宽度为:
故上、下边衬的宽度为:
解方程得
(以下请自己完成)
方程的哪个根合乎实际
意义 为什么
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm,依题意得
例2 学校为了美化校园环境，在一块长40m、宽20m的长方形空地上计划新建一块长9m、宽7m的长方形花圃.
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1m2，请你给出你认为合适的三种不同的方案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2m2？如果能，
请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
【例题】
【解析】(1)
方案1：长为 m，宽为7m;
方案2：长为16m，宽为4m;
方案3：长=宽=8m;
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃
面积不能增加2m2.
由题意得长方形长与宽的和为16m.设长方形花圃的长为xm，则宽为（16-x）m.
x(16-x)=63+2，
x2-16x+65=0，
∴此方程无解.
∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2m2
1.用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
【解析】设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
∴此方程无解.
∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
【跟踪训练】
2.某校为了美化校园,准备在一块长32m,宽20m的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少时，使图(1),(2)的草坪面积为540m2.
(1)
(2)
【解析】（1)如图，设道路的宽为xm，则
化简得，
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1m.
(1)
则横向的路面面积为
（2）此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540m2.
解法一、 如图，设道路的宽为xm，
32x m2,
纵向的路面面积为
20x m2.
注意：这两个面积的重叠部分是x2,
所列的方程是不是
？
图中的道路面积不是
m2.
(2)
而是从其中减去重叠部分，即应是
m2
所以正确的方程是：
化简得，
其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：
草坪面积为32×20-100=540（m2）
答：所求道路的宽为2m.
解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
横向路面:
如图，设路宽为xm，
32xm2
纵向路面面积为:
20xm2
草坪矩形的长（横向）为:
草坪矩形的宽（纵向:）为：
相等关系是：草坪长×草坪宽=540m2
(20-x)m
（32-x)m
即
化简得：
再往下的计算、格式书写与解法一相同.
(2)
【例3】如图所示，在△ABC中，∠C=
90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC
边从点A向终点C以1cm/s的速度移
动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以
2cm/s的速度移动.问点P，Q 出发几
秒后，可使△PCQ的面积为9cm2
思考：出发xs后，则AP=___cm，CQ=____cm，
PC=_____ cm，S△PCQ=__________.
【例题】
2x
x
(6-x)
解：
设点P，Q出发xs后，可使△PCQ的面积为9cm2.
则AP=xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm.
根据题意，得
整理，得x2-6x+9=0.
解得x1=x2=3.
答：点P、Q同时出发3s后可使△PCQ的面积为9cm2.
1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程
解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.
2.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由
于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否都
符合实际问题的要求.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花
圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列
方程为(　　)
A. x(x－10)＝200 B. 2x＋2(x－10)＝200
C. x(x＋10)＝200 D. 2x＋2(x＋10)＝200
2.如图，在△ABC中，AB=50cm，BC=30cm，∠C=90°.点P从点A沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，使得△PCB的面积等于450cm2，那么移动的时间是_____s.
5
C
1.如图是宽为20m,长为32m的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570m2,问:道路宽为多少米
【解析】设道路宽为xm，
化简得，
其中的 x=35超出了原矩形的长和宽，应舍去.
答:道路的宽为1m.
则
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
A
B
C
D
化简得，
答:小路的宽为3 m.
【解析】设小路宽为x m，则
3. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2，
（1）求S与x的函数关系式;
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
【解析】(1)因为宽AB为xm，
则BC为(24-3x)m，这时面积
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由(1)可知，-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得 ≤x＜8
∴x2=3不合题意， ∴AB=5，即花圃的宽AB为5m
时间是个常数，但对勤奋者来说，是个 “变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍。
——雷巴柯夫