人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形 精品同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形 精品同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-17 14:31:02 | ||
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文档简介
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人教版八年级上册数学 13.3.1等腰三角形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是
A．70° B．55° C．50° D．40°
2.如图所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠B=∠C D．∠3=∠B
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是
A．21 B．20 C．19 D．18
4.一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为
A．20° B．30° C．80° D．120°
5.等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边为
A．7 cm B．3 cm
C．7 cm或3 cm D．8 cm
6.如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．10或14
8.如图，直线，等腰直角三角板的底角顶点落在 上，直角顶点落在上，若，则的度数为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
9.已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
10.．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点.设，的面积分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为__________．
12.如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则_________cm．
13.如图，在中，，为的中点，，则__________．
14.将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为______．
15.如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.已知等腰三角形的一边长等于5 cm，另一边长等于9 cm，求它的周长．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．
求证：△AEF是等腰三角形．
18.如图，已知，，与相交于点，求证：．
19.已知：如图，点、、、在一条直线上，交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20.如图，，．求证：．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=70°，∴∠C=70°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=40°．故选D．
2.【答案】D
【解析】∵点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，∴DA=DC=DE．
∴∠2=∠3，AE⊥BC，DE∥AB，∴∠1=∠2，∠B=∠C．故选D．
3.【答案】B
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于点D，∴BD=CD．∵AB=6，CD=4，∴△ABC的周长=6+4+4+6=20．故选B．
4.【答案】D
【解析】设底角为x，顶角为4x．则2x+4x=180°，解得x=30°，∴4x=120°，故选D．
5.【答案】B
【解析】当腰是3 cm时，则另两边是3 cm，7 cm．而3+3<7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
底边是3 cm时，另两边长是5 cm，5 cm．则该等腰三角形的底边为3 cm．故选B．
6.【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
7.【答案】C
【分析】分腰为2和6两种情况分别讨论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可．
【详解】当腰为2时，则三边为2、2、6，此时2+2＜6，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
当腰为6时，则三边为6、6、2，满足三角形的三边关系，周长为14；
故选：C．
8.【答案】D
【分析】根据条件可得∠MCA=80゜，由，可得∠CAQ=∠MCA，根据等腰直角三角形的性质则可求得结果．
【详解】∵由题意知，∠ACB=90゜，∠BAC=45゜
∴∠MCA=∠ACB-∠BCM==90゜-10゜=80゜
∵
∴∠CAQ=∠MCA=80゜
∴∠PAB=180゜-∠BAC-∠CAQ=55゜
故选：D．
9.【答案】D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】∵，
∴
解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
10.【答案】B
【分析】根据作图过程可得是的平分线，根据角平分线的性质和，，可得，设，则，，根据三角形的面积公式分别求出，，再计算即可．
【详解】根据作图过程可知：是的平分线，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∴
设，则在中，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
填空题
11.【答案】cm或12 cm
【解析】设等腰三角形的腰长是x，底边是y，
根据题意得或，解得或，
经检验，均符合三角形的三边关系．因此三角形的底边是或12．故答案为：cm或12 cm．
12.【答案】4
【解析】根据等腰三角形的三线合一可得：BD=BC=×6=3 cm，
在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，
所以，AD=4 cm．故答案为：4．
13.【答案】55°
【解析】，为的中点，，所以∠BAC=70°，∠C==55°．故答案为：55°．
14.【答案】135°
【分析】利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．
【详解】连接OC，EO
由折叠性质可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD
∴∠ECO=
∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°
即的度数为135°
故答案为：135°
15.【答案】
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
【详解】在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
解答题
16.【解析】5是腰长时，则周长是5+5+9=19 cm；
5是底边时，则5+9+9=23 cm．
所以周长为19 cm或23 cm．
17.【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，
∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．
18.【答案】证明见解析
【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．
【详解】∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
19.【答案】（1）见解析；（2）80°
【分析】（1）由，利用同位角相等可得．由，利用等式性质可得，可证；
（2）由可得，由利用等角对等边，可求．利用三角形内角和可得．利用性质，可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴．
（2）解：，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
20.【答案】见解析．
【分析】利用SAS可证明△ABD≌△BAC，即可得∠ABD=∠BAC，进而可证明结论．
【详解】证明：在和中，
∵
∴≌（SAS）
∴，∴．
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人教版八年级上册数学 13.3.1等腰三角形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是
A．70° B．55° C．50° D．40°
2.如图所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠B=∠C D．∠3=∠B
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是
A．21 B．20 C．19 D．18
4.一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为
A．20° B．30° C．80° D．120°
5.等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边为
A．7 cm B．3 cm
C．7 cm或3 cm D．8 cm
6.如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．10或14
8.如图，直线，等腰直角三角板的底角顶点落在 上，直角顶点落在上，若，则的度数为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
9.已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
10.．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点.设，的面积分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为__________．
12.如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则_________cm．
13.如图，在中，，为的中点，，则__________．
14.将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为______．
15.如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.已知等腰三角形的一边长等于5 cm，另一边长等于9 cm，求它的周长．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．
求证：△AEF是等腰三角形．
18.如图，已知，，与相交于点，求证：．
19.已知：如图，点、、、在一条直线上，交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20.如图，，．求证：．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=70°，∴∠C=70°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=40°．故选D．
2.【答案】D
【解析】∵点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，∴DA=DC=DE．
∴∠2=∠3，AE⊥BC，DE∥AB，∴∠1=∠2，∠B=∠C．故选D．
3.【答案】B
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于点D，∴BD=CD．∵AB=6，CD=4，∴△ABC的周长=6+4+4+6=20．故选B．
4.【答案】D
【解析】设底角为x，顶角为4x．则2x+4x=180°，解得x=30°，∴4x=120°，故选D．
5.【答案】B
【解析】当腰是3 cm时，则另两边是3 cm，7 cm．而3+3<7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
底边是3 cm时，另两边长是5 cm，5 cm．则该等腰三角形的底边为3 cm．故选B．
6.【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
7.【答案】C
【分析】分腰为2和6两种情况分别讨论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可．
【详解】当腰为2时，则三边为2、2、6，此时2+2＜6，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
当腰为6时，则三边为6、6、2，满足三角形的三边关系，周长为14；
故选：C．
8.【答案】D
【分析】根据条件可得∠MCA=80゜，由，可得∠CAQ=∠MCA，根据等腰直角三角形的性质则可求得结果．
【详解】∵由题意知，∠ACB=90゜，∠BAC=45゜
∴∠MCA=∠ACB-∠BCM==90゜-10゜=80゜
∵
∴∠CAQ=∠MCA=80゜
∴∠PAB=180゜-∠BAC-∠CAQ=55゜
故选：D．
9.【答案】D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】∵，
∴
解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
10.【答案】B
【分析】根据作图过程可得是的平分线，根据角平分线的性质和，，可得，设，则，，根据三角形的面积公式分别求出，，再计算即可．
【详解】根据作图过程可知：是的平分线，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∴
设，则在中，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
填空题
11.【答案】cm或12 cm
【解析】设等腰三角形的腰长是x，底边是y，
根据题意得或，解得或，
经检验，均符合三角形的三边关系．因此三角形的底边是或12．故答案为：cm或12 cm．
12.【答案】4
【解析】根据等腰三角形的三线合一可得：BD=BC=×6=3 cm，
在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，
所以，AD=4 cm．故答案为：4．
13.【答案】55°
【解析】，为的中点，，所以∠BAC=70°，∠C==55°．故答案为：55°．
14.【答案】135°
【分析】利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．
【详解】连接OC，EO
由折叠性质可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD
∴∠ECO=
∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°
即的度数为135°
故答案为：135°
15.【答案】
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
【详解】在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
解答题
16.【解析】5是腰长时，则周长是5+5+9=19 cm；
5是底边时，则5+9+9=23 cm．
所以周长为19 cm或23 cm．
17.【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，
∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．
18.【答案】证明见解析
【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．
【详解】∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
19.【答案】（1）见解析；（2）80°
【分析】（1）由，利用同位角相等可得．由，利用等式性质可得，可证；
（2）由可得，由利用等角对等边，可求．利用三角形内角和可得．利用性质，可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴．
（2）解：，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
20.【答案】见解析．
【分析】利用SAS可证明△ABD≌△BAC，即可得∠ABD=∠BAC，进而可证明结论．
【详解】证明：在和中，
∵
∴≌（SAS）
∴，∴．
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