人教版数学八年级上册13.4最短路径问题 精品同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册13.4最短路径问题 精品同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-17 15:03:29 | ||
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文档简介
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人教版八年级上册数学 13.4最短路径问题 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A． B．
C． D．
2.A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在
A．线段AB上 B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上 D．直线l上
3．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
7．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
8．已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）
A． B．
C． D．
9．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10 cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为__________cm．
12.如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．
14.如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．
（1）△ABC的周长等于_____；
（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
15.如图，等腰△ABC底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，若D为BC边上的中点，E为线段MN上一动点，则△BDE的周长最小值为____cm．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，不写作法，保留痕迹．
17.如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处．
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接，试说明．
18.如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
19.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，1），B（3，4），C（1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标；
（2）若点P在x轴上，且满足PA＋PC1最小，求点P的坐标及PA＋PC1的最小值．
20.如图，在等腰三角形ABC中，底边，的面积是，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当周长的最小时，请在图中作出满足条件的（保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）周长的最小值是___________．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【解析】本题的依据就是两点之间线段最短．首先作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q就是最短的路程．故选D．
2.【答案】A
3.【答案】C
【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．
【详解】如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B′H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
4.【答案】A
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故选：A．
5.【答案】A
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP =30°，
故选：A．
6.【答案】D
【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案.
【详解】由题意得：当BP⊥AC时，的值最小，
∵,
∴,
解得BP=，
故选：D.
7.【答案】C
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．
【详解】如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴×10 CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5．
故选：C．
8.【答案】D
【分析】根据轴对称的性质以及线段的性质可得到结论．
【详解】根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．
故选：D
9.【答案】D
【分析】本题可通过找点M或点N关于直线m的对称点，继而利用两点之间线段最短确定最短路径．
【详解】作点M关于直线m的对称点，连接交直线m于P，则P处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除、、选项，可知选项管道最短．
故选：．
10.【答案】C
【分析】根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，
如图所示，当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为，
故选：．
填空题
11.【答案】10
【解析】如图，连接PC，
∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴CD=AH=10 cm．
∵AH⊥BC，∴PB=PC，
∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10 cm．
故答案为：10．
12.【答案】80°
【分析】根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案；
【详解】∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．
13.【答案】
【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
【详解】如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝，
∴PC的最小值为，
故答案为．
14.【答案】12 见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形
【分析】（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
【详解】（1）△ABC的周长等于，
故答案为：12；
（2）如图：
故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
．
15.【答案】11
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线NM的对称点为点A，故AD的长为BE+ED的最小值，由此即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=3cm
解得AD=8（cm），
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，AD与MN的交点为E,
此时BE+DE的值最小
∴AD的长为BE+ED的最小值，
∴△BDE的周长最小值=
故答案为11．
解答题
16.【解析】如图，作点A关于燃气管道L的对称点A′，连接A′B交L于点P，即点P即为所求．
17.【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）要使PA＋PB最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P；
（2）在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．根据轴对称的性质得到PA＝PA′，QA＝QA′．根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】（1）如图，点P即为所求．
（2）如图，在直线l上任取一点Q，连接．
∵点A与关于直线l对称，点P，Q在直线l上，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
18.【答案】见解析
【分析】利用关于直线对称点的性质得出 P 点关于AB的对称点 P '，以及 P 点关于 CB 的对称点 P "，根据两点直接线段最短，连接 P ' P "即可得出．
【详解】如图所示：C、D点即为所求．
19.【答案】（1）图见解析，C1（-1，2）；（2）P（，0），．
【分析】（1）根据轴对称的定义，将关于y轴的对应点分别画出，顺次连接即可；
（2）作点A关于x轴的对称点，与C1连接，此时与x轴的交点即为点P，求出直线的解析式，令y=0，求出x，即可求出点P的坐标，为最小值，利用勾股定理即可求出长度．
【详解】（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示：
点C1的坐标（-1，2）
（2）作点A关于x轴的对称点，与C1连接，此时与x轴的交点即为点P，为最小值
∵C1（-1，2），（4，-1）
设的解析式为y=kx+b，将点C1和代入，得：
，求得
∴的解析式为
令y=0，x=，即点P（，0）
利用勾股定理，=．
20.【答案】（1）图见解析；（2）5.5
【分析】（1）根据三角形周长公式和两点之间线段最短来分析，进而再利用简单的作图方法即可作图；
（2）根据三角形面积公式求出AD，再根据中点定义求出BD即可求解．
【详解】（1）如图所示；连接AM，
∵EF是AB的线段垂直平分线
∴AM＝BM
∴△BDM的周长＝BM＋DM＋BD
又AM＝BM
∴△BDM的周长＝AM＋DM＋BD
∵BD是定值
∴当A、M、D三点在一条直线上时，AM＋DM值最小，即△BDM的周长最小，
（2）∵△ABC是等腰三角形
又点D为BC边上的中点，
∴AD是△ABC BC边上的高，
∵，，的面积是，
∴BD＝1.5cm，AD＝4cm
∴△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm
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人教版八年级上册数学 13.4最短路径问题 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A． B．
C． D．
2.A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在
A．线段AB上 B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上 D．直线l上
3．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
7．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
8．已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）
A． B．
C． D．
9．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10 cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为__________cm．
12.如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____．
14.如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．
（1）△ABC的周长等于_____；
（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
15.如图，等腰△ABC底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，若D为BC边上的中点，E为线段MN上一动点，则△BDE的周长最小值为____cm．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，不写作法，保留痕迹．
17.如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处．
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接，试说明．
18.如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
19.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，1），B（3，4），C（1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标；
（2）若点P在x轴上，且满足PA＋PC1最小，求点P的坐标及PA＋PC1的最小值．
20.如图，在等腰三角形ABC中，底边，的面积是，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当周长的最小时，请在图中作出满足条件的（保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）周长的最小值是___________．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【解析】本题的依据就是两点之间线段最短．首先作点P关于直线l的对称点P′，连接P′Q就是最短的路程．故选D．
2.【答案】A
3.【答案】C
【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．
【详解】如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B′H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
4.【答案】A
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故选：A．
5.【答案】A
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP =30°，
故选：A．
6.【答案】D
【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案.
【详解】由题意得：当BP⊥AC时，的值最小，
∵,
∴,
解得BP=，
故选：D.
7.【答案】C
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．
【详解】如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴×10 CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5．
故选：C．
8.【答案】D
【分析】根据轴对称的性质以及线段的性质可得到结论．
【详解】根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．
故选：D
9.【答案】D
【分析】本题可通过找点M或点N关于直线m的对称点，继而利用两点之间线段最短确定最短路径．
【详解】作点M关于直线m的对称点，连接交直线m于P，则P处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除、、选项，可知选项管道最短．
故选：．
10.【答案】C
【分析】根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，
如图所示，当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为，
故选：．
填空题
11.【答案】10
【解析】如图，连接PC，
∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴CD=AH=10 cm．
∵AH⊥BC，∴PB=PC，
∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10 cm．
故答案为：10．
12.【答案】80°
【分析】根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案；
【详解】∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．
13.【答案】
【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
【详解】如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝，
∴PC的最小值为，
故答案为．
14.【答案】12 见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形
【分析】（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
【详解】（1）△ABC的周长等于，
故答案为：12；
（2）如图：
故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
．
15.【答案】11
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线NM的对称点为点A，故AD的长为BE+ED的最小值，由此即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=3cm
解得AD=8（cm），
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，AD与MN的交点为E,
此时BE+DE的值最小
∴AD的长为BE+ED的最小值，
∴△BDE的周长最小值=
故答案为11．
解答题
16.【解析】如图，作点A关于燃气管道L的对称点A′，连接A′B交L于点P，即点P即为所求．
17.【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）要使PA＋PB最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P；
（2）在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．根据轴对称的性质得到PA＝PA′，QA＝QA′．根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】（1）如图，点P即为所求．
（2）如图，在直线l上任取一点Q，连接．
∵点A与关于直线l对称，点P，Q在直线l上，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
18.【答案】见解析
【分析】利用关于直线对称点的性质得出 P 点关于AB的对称点 P '，以及 P 点关于 CB 的对称点 P "，根据两点直接线段最短，连接 P ' P "即可得出．
【详解】如图所示：C、D点即为所求．
19.【答案】（1）图见解析，C1（-1，2）；（2）P（，0），．
【分析】（1）根据轴对称的定义，将关于y轴的对应点分别画出，顺次连接即可；
（2）作点A关于x轴的对称点，与C1连接，此时与x轴的交点即为点P，求出直线的解析式，令y=0，求出x，即可求出点P的坐标，为最小值，利用勾股定理即可求出长度．
【详解】（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示：
点C1的坐标（-1，2）
（2）作点A关于x轴的对称点，与C1连接，此时与x轴的交点即为点P，为最小值
∵C1（-1，2），（4，-1）
设的解析式为y=kx+b，将点C1和代入，得：
，求得
∴的解析式为
令y=0，x=，即点P（，0）
利用勾股定理，=．
20.【答案】（1）图见解析；（2）5.5
【分析】（1）根据三角形周长公式和两点之间线段最短来分析，进而再利用简单的作图方法即可作图；
（2）根据三角形面积公式求出AD，再根据中点定义求出BD即可求解．
【详解】（1）如图所示；连接AM，
∵EF是AB的线段垂直平分线
∴AM＝BM
∴△BDM的周长＝BM＋DM＋BD
又AM＝BM
∴△BDM的周长＝AM＋DM＋BD
∵BD是定值
∴当A、M、D三点在一条直线上时，AM＋DM值最小，即△BDM的周长最小，
（2）∵△ABC是等腰三角形
又点D为BC边上的中点，
∴AD是△ABC BC边上的高，
∵，，的面积是，
∴BD＝1.5cm，AD＝4cm
∴△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm
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