人教版数学八年级上册13.3.2等边三角形 精品同步练习（含解析）

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人教版八年级上册数学 13.3.2等边三角形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是
A．8个 B．10个 C．11个 D．12个
2.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
3.下面几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中是等边三角形的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
6.如图，在等边中，，点E在中线上，现有一动点P沿着折线运动，且在上的速度是4单位/秒，在上的速度是2单位/秒，当点P从A运动到C所用时间最少时，长为（ ）
A．3 B． C． D．
7.已知锐角∠AOB，如图：
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．③
8.如图，在中，，，DE垂直平分AB，交BC于点E，，则（ ）
A． B． C． D．
9.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形
C．若两个角是直角，则它们相等 D．全等三角形的对应角相等
10.如图，直角梯形纸片对边，是直角，将纸片沿着EF折叠，DF的对应边交AB于点G，FH平分交AC于点H，则结论：①；②；③；④，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，是等边三角形，BD平分，点E在BC的延长线上，且，，则__________．
12.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB=_______度．
13.在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是____．
14．如图，在边长为6的菱形中，为其对角线，，点、分别是边、上的动点，且．连接、、，交于点．则点到直线的距离的最大值为________．
15.如图1，正的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正，再把正的各边延长一倍得到正（如图2），如此进行下去，......，则（1）正的面积为______；（2）正的面积为______（用含有的式子表示，为正整数）．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图所示，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使DE=BD．求证：CE=BC．
17.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
18.如图，，，．求证：．
19.．如图a，已知点，点C为x轴上一动点，连接，和都是等边三角形．
（1）求证：；
（2）如图b，当点D恰好落在上时．
①求的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；
③如图c，点M是线段上的动点（点B，C除外），过点M作于点G，于点H，当点M运动时，的值是否发生变化？简要说明理由．
20.如图，在中，为的中点，，，垂足分别为，，且，，求证：是等边三角形．
参考答案
选择题
1.答案】D
【解析】如图，直角三角形有：△AEC、△BEC、△AFC、△AFB、△BDA、△BDC、△AEO、△ADO、△BEO、△BFO、△CDO、△CFO．
故选D．
2.【答案】A
【解析】∵这个三角形是轴对称图形，∴一定有两个角相等，∴这是一个等腰三角形.
∵有一个内角是60°，∴这个三角形是等边三角形．故选A．
3.【答案】B
【解析】对于①，有两个角为60°的三角形为等边三角形，故①正确；
对于②，三个外角都相等的三角形为等边三角形，故②正确；
对于③，一条边上的高也是这条边上的中线的三角形有可能是等腰三角形或等边三角形，故③错误；
对于④，有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，故④正确．
综上，①②④所述为等边三角形．故选B．
4.【答案】C
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】∵是正五边形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．
5.【答案】B
【分析】由是等边三角形，可得∠B=60°，由是边上的中线，可得BD=CD=，AD⊥BC，由，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．
【详解】∵是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=AC，
∵是边上的中线，
∴BD=CD=，AD⊥BC，
∵，
∴ED=CD，∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．
故选择：B．
6.【答案】D
【分析】作于点，求出点运动时间为，则最短时满足题意．
【详解】作于点，
则点在上运动时间为，，
，
，
，
当，，共线时，点运动时间最短，
为三角形中线，点为重心，
，，
，
∴．
故选：D．
7.【答案】B
【分析】根据作法可得△POC≌△POD，从而可判断③正确，根据作法知：PC＝PD，OC＝OD，根据线段垂直平分线的判定知④正确，由作法知△PCD是等边三角形，及CD⊥OP，可得②正确，至于①则不一定正确．
【详解】由作图可知，OC＝OD，CP＝DP，
在△POC和△POD中，
，
∴△POC≌△POD（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，故③正确，
由作图可知，PC＝CD＝PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠CPD＝60°，
∵PC＝PD，OC＝OD，
∴OP⊥CD，故④正确，
∵∠CPQ＝∠DPQ＝30°，
∴CP＝2QC，故②正确，
∵∠ODC显然不一定是60°，
∴PC与OD显然不平行，
故选：B．
8.【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质求出，根据直角三角形的性质计算．
【详解】垂直平分，
，
，
，
(cm) ，
故选：D．
9.【答案】A
【分析】先写出逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】A、逆命题：两直线平行，同位角相等，
此逆命题是真命题，此项符合题意；
B、逆命题：锐角三角形是等边三角形，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
C、逆命题：若两个角相等，则它们是直角，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
D、逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形是全等三角形，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
故选：A．
10.【答案】D
【分析】由平行线的性质可得∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，由折叠的性质可得∠GFE=∠EFD，可得∠AGF=2∠GFE，∠GEF=∠GFE=∠EFD，可判断①和②，由角平分线的性质和平角的性质可得∠GFE+∠D'FH=90°，由余角的性质可得∠CHF=∠GFE，可判断③，由折叠的性质可求∠BEF的值，可求∠GFE=∠GEF=55°，可判断④，即可求解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，
∴∠GFE=∠EFD，
∴∠AGF=2∠GFE，故①正确；
∵∠GEF=∠GFE=∠EFD，
∴GE=GF，
∵无法证明△GEF是等边三角形，
∴GE≠EF，
∴∠EGF≠∠GFE；故②错误；
∵FH平分∠CFD'，
∴∠CFH=∠D'FH，
∵∠D'FC+∠D'FD=180°，
∴∠GFE+∠D'FH=90°，
又∵∠CHF+∠HFC=90°，
∴∠CHF=∠GFE，故③正确；
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，
∴∠BEF=∠B'EF，
∴∠BEF==125°，
∴∠GEF=55°=∠GFE，故④正确，
故选：D．
填空题
11.【答案】2
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2，故答案为：2．
12.【答案】75
【解析】因为△AEF是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF，
因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°．
所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF．
所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，
所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°．故答案为：75．
13.【答案】
【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可知平分，从而可得，然后根据等腰三角形的定义可得，最后根据直角三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】在中，，，
，
由角平分线的尺规作图可知，平分，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【分析】根据菱形的性质得到为等边三角形，再证明，继而证明是等边三角形，当时，作于，结合含30°角的直角三角形解得的长，在中，由勾股定理解得的长．
【详解】
15.【答案】7
【分析】先根据已知条件求出及的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
【详解】△ABC与△A1AB1底相等（AC=AA1），高为1：2（AB1=2AB），
∴面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，∴．
同理可得，的面积=的面积=2
∴的面积=的面积+的面积+的面积+的面积=2+2+2+1=7；
同理可证的面积=7的面积=49，
∴如此下去，则正AnBnCn的面积=7n．
故答案为：7，7n．
解答题
16.【解析】∵△ABC为等边三角形，BD为中线，∴CD=，∠DBC=30°．
∵DB=DE，∴∠E=∠DBC=30°．
∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=30°，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE，
∴CE=．
17.【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，∴∠BAE=（180°-30°）=75°，
∵∠BAD=90°，∴∠EAD=90°-75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°-15°-15°=150°．
18.【答案】证明见解析
【分析】先证△ADE≌△ABC（AAS），得AE＝AC，再证△ACE是等边三角形，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
19.【答案】（1）见解析；（2）①，；②存在，，或；③不会变化，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过E作轴于F，角三角形即可得到结论；②存在，如图d，当时，当，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，如图c，连接，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（2）解：①∵点，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过E作轴于F，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
②存在，如图d，当时，
∵，
∴，，
∴，；
当，
∵，
∴是等边三角形，
∴，重合，
∴当为等腰三角形时，，或；
③不会变化，如图c，连接，
∵，
∵，
∴，
∴的值不会发生变化．
20.【答案】证明见解析
【分析】用HL证△BED≌△CFD，得出∠B=∠C,再证∠B=60°即可．
【详解】证明：∵，，
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵，
∴∠B=60°，
是等边三角形．
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