2023-2024学年广东省河源市七年级（下）期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年广东省河源市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．（3分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过才0.0000003米．其中数据0.0000003用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×10﹣6 B．3×10﹣6 C．3×10﹣7 D．3×107
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x6÷x3＝x2 B．（x3）2＝x5 C．x3 x4＝x7 D．x3+x3＝x6
5．（3分）如果一个角的余角是38°，那么这个角的度数是（　　）
A．42° B．52° C．142° D．152°
6．（3分）如图是淇淇在超市购买圣女果的销售标签，则在单价、质量、总价的关系中，常量是（　　）
圣女果单价：8.60元/千克质量：2千克总价：17.2元
A．总价 B．质量
C．单价 D．单价和质量
7．（3分）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）
①∠B+∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
9．（3分）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断下列说法正确的是（　　）
A．甲队率先到达终点
B．乙队比甲队少用0.2分钟
C．甲队比乙队多走了200米路程
D．比赛过程中乙队的速度一直比甲队的速度快
10．（3分）如图，AP1为△ABC的中线，AP2为△AP1C的中线，AP3为△AP2C的中线，…，按此规律，APn+1为△APnC的中线，若△ABP1的面积为1，则△APnC的面积为（　　）
A．2n B．2﹣n C．2n﹣1 D．21﹣n
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是 　 　．
13．（3分）如图，已知△ABC≌△DBC，∠ABC＝55°，∠ACD＝60°，那么∠D＝　 　°．
14．（3分）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝30°，则∠COE＝　 　°．
15．（3分）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝48°，则∠2﹣∠1＝　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共75分）
16．（5分）利用平方差公式计算：103×97．
17．（5分）已知：线段a，c，∠α．
求作：△ABC．使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．
18．（7分）先化简，再求值：xy（3xy+2y2）﹣14x3y4÷7xy2，其中x＝2，y＝﹣1．
19．（7分）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．如表是叠放凳子的总高度h与凳子数量n的几组对应值．
凳子的数量n（张） 1 2 3 4 …
叠放凳子的总高度h（厘米） 45 50 55 60 …
根据以上信息，回答下列问题：
（1）按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为 　 　厘米；
（2）按照表格所示的规律，写出叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间的关系式 　 　；
（3）按照表格所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11张凳子吗？说明理由．
20．（9分）如图，有一个可以自由转动的转盘，转盘被平均分成6等份，每个扇形区域内分别标有3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字．
请回答下列问题：
（1）随机转动转盘，转出数字1是 　 　事件，转出数字8是 　 　事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个填空）
（2）随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是 　 　；
（3）现有两张分别写有3和4的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，将转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成三角形的概率是多少？请说明理由．
21．（9分）如图，已知CF是∠ACB的平分线，交AB于点F，点D、E、G分别是AC、AB、BC上的点，且∠3＝∠ACB，∠4+∠5＝180°．
（1）图中∠2与∠5是一对 　 　，∠3与∠4是一对 　 　；（填“同位角”或“内错角”或“同旁内角”）
（2）若CF⊥AB，垂足为F，∠A＝58°，则∠4的度数为 　 　；
（3）判断CF与DE是什么位置关系？说明理由．（请补充完整下面的推理过程）
解：CF 　 　DE，理由如下：
∵∠3＝∠ACB，（已知）
∴　 　，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠4，（ 　 　）
∵∠4+∠5＝180°，（已知）
∴　 　，（等量代换）
∴　 　.（ 　 　）
22．（9分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB．
（1）求证：△AED≌△CEF；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，CA平分∠BCF，且∠ABE＝25°，求∠A的度数．
23．（12分）阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝16，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣20＝b，
则（30﹣x）（x﹣20）＝ab＝16，
a+b＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10，
∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×16＝68
（1）【类比探究】若x满足（280﹣x）（x﹣250）＝200．求（280﹣x）2+（x﹣250）2的值；
（2）【联系拓展】若x满足（2024﹣x）（2020﹣x）＝5，则（2024﹣x）2+（2020﹣x）2＝　 　；（直接写出结论，不用说明理由．）
（3）【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为180平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
24．（12分）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（AB、CD）和一块含45°角的直角三角板（∠EFG＝90°）“为主题开展数学活动，已知点E、F不能同时落在直线AB和CD之间．
（1）【探究】如图1，把三角板的45°角的顶点E、G分别放在AB、CD上，若∠BEG＝140°，求∠FGC的度数；
（2）【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
（3）【拓展】把三角板的锐角顶点G放在CD上，在绕点G旋转三角板的过程中，若（∠DGE＜45°），请直接写出射线GF与AB相交所夹锐角的度数．
2023-2024学年广东省河源市七年级（下）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
选：C．
2．（3分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
选：C．
3．（3分）很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过才0.0000003米．其中数据0.0000003用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×10﹣6 B．3×10﹣6 C．3×10﹣7 D．3×107
选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x6÷x3＝x2 B．（x3）2＝x5 C．x3 x4＝x7 D．x3+x3＝x6
【分析】根据相关运算法则逐一判断即可．
选：C．
5．（3分）如果一个角的余角是38°，那么这个角的度数是（　　）
A．42° B．52° C．142° D．152°
选：B．
6．（3分）如图是淇淇在超市购买圣女果的销售标签，则在单价、质量、总价的关系中，常量是（　　）
圣女果单价：8.60元/千克质量：2千克总价：17.2元
A．总价 B．质量
C．单价 D．单价和质量
选：C．
7．（3分）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）
①∠B+∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
选：C．
9．（3分）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断下列说法正确的是（　　）
A．甲队率先到达终点
B．乙队比甲队少用0.2分钟
C．甲队比乙队多走了200米路程
D．比赛过程中乙队的速度一直比甲队的速度快
选：B．
10．（3分）如图，AP1为△ABC的中线，AP2为△AP1C的中线，AP3为△AP2C的中线，…，按此规律，APn+1为△APnC的中线，若△ABP1的面积为1，则△APnC的面积为（　　）
A．2n B．2﹣n C．2n﹣1 D．21﹣n
选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝　17　．
12．（3分）小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是 　　．
13．（3分）如图，已知△ABC≌△DBC，∠ABC＝55°，∠ACD＝60°，那么∠D＝　95　°．
14．（3分）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝30°，则∠COE＝　105　°．
15．（3分）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝48°，则∠2﹣∠1＝　12°　．
三、解答题（本大题共9小题，共75分）
16．（5分）利用平方差公式计算：103×97．
【解答】解：103×97
＝（100+3）×（100﹣3）
＝102﹣32
＝10000﹣9
＝9991．
17．（5分）已知：线段a，c，∠α．
求作：△ABC．使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．
【解答】解：如图所示：①先画射线BC，
②以α的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交α的两边交于为A′，C′；
③以相同长度为半径，B为圆心，画弧，交BC于点F，以F为圆心，C′A′为半径画弧，交于点E；
④在BF上取点C，使CB＝a，以B为圆心，c为半径画圆交BE的延长线于点A，连接AC，
结论：△ABC即为所求三角形．
18．（7分）先化简，再求值：xy（3xy+2y2）﹣14x3y4÷7xy2，其中x＝2，y＝﹣1．
【解答】解：原式＝3x2y2+2xy3﹣2x2y2
＝（3﹣2）3x2y2+2xy3
＝x2y2+2xy3，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝22×（﹣1）2+2×2×（﹣1）3＝4﹣4＝0．
19．（7分）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．如表是叠放凳子的总高度h与凳子数量n的几组对应值．
凳子的数量n（张） 1 2 3 4 …
叠放凳子的总高度h（厘米） 45 50 55 60 …
根据以上信息，回答下列问题：
（1）按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为 　70　厘米；
（2）按照表格所示的规律，写出叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间的关系式 　h＝5n+40（n是正整数）　；
（3）按照表格所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11张凳子吗？说明理由．
【解答】解：（1）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5，
∴当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为60+5×（6﹣4）＝70（厘米），
故答案为：70；
（2）由题意得：h＝5×（n﹣1）+45＝5n+40；
故答案为：h＝5n+40（n是正整数）；
（3）不能叠放11个．理由如下：
当n＝11时，h＝5×11+40＝95，
∵95＞92，
∴不能叠放11个．
20．（9分）如图，有一个可以自由转动的转盘，转盘被平均分成6等份，每个扇形区域内分别标有3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字．
请回答下列问题：
（1）随机转动转盘，转出数字1是 　不可能　事件，转出数字8是 　随机　事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个填空）
（2）随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是 　　；
（3）现有两张分别写有3和4的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，将转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成三角形的概率是多少？请说明理由．
【解答】解：（1）随机转动转盘，转出数字1是不可能事件，转出数字8是随机事件；
故答案为：不可能，随机；
（2）随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是＝＝；
故答案为：；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果，根据三角形的三边关系，其中这三条线段能构成三角形的结果数为4种，
所以这三条线段能构成三角形的概率＝＝．
21．（9分）如图，已知CF是∠ACB的平分线，交AB于点F，点D、E、G分别是AC、AB、BC上的点，且∠3＝∠ACB，∠4+∠5＝180°．
（1）图中∠2与∠5是一对 　同旁内角　，∠3与∠4是一对 　内错角　；（填“同位角”或“内错角”或“同旁内角”）
（2）若CF⊥AB，垂足为F，∠A＝58°，则∠4的度数为 　32°　；
（3）判断CF与DE是什么位置关系？说明理由．（请补充完整下面的推理过程）
解：CF 　∥　DE，理由如下：
∵∠3＝∠ACB，（已知）
∴　AC∥FG　，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠4，（ 　两直线平行，内错角相等　）
∵∠4+∠5＝180°，（已知）
∴　∠2+∠5＝180°　，（等量代换）
∴　DE∥CF　.（ 　同旁内角互补，两直线平行　）
【解答】解：（1）图中∠2与∠5是一对同旁内角，∠3与∠4是一对内错角；
故答案为：同旁内角；内错角；
（2）∵CF⊥AB，
∴∠CFA＝90°，
∵∠A＝58°，
∴∠2＝90°﹣∠A＝32°，
∵∠3＝∠ACB，
∴FG∥AC，
∴∠2＝∠4＝32°，
故答案为：32°；
（3）CF∥DE，理由如下：
∵∠3＝∠ACB，（已知）
∴AC∥FG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠4，（两直线平行，内错角相等）
∵∠4+∠5＝180°，（已知）
∴∠2+∠5＝180°，（等量代换）
∴DE∥CF．（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：∥；AC∥FG；两直线平行，内错角相等；∠2+∠5＝180°；DE∥CF；同旁内角互补，两直线平行．
22．（9分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB．
（1）求证：△AED≌△CEF；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，CA平分∠BCF，且∠ABE＝25°，求∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
∵CF∥AB．
∴∠A＝∠ACF，
在△AED 和△CEF中，
∴△AED≌△CEF（ASA）；
（2）解：∵BE 平分∠ABC，∠ABE＝25°，
∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，
∵CF∥AB．
∴∠ABC+∠BCF＝180°，∠A＝∠ACF，
∴∠BCF＝180°﹣∠ABC＝130°，
∵CA平分∠BCF，
∴，
∴∠A＝65°．
23．（12分）阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝16，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣20＝b，
则（30﹣x）（x﹣20）＝ab＝16，
a+b＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10，
∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×16＝68
（1）【类比探究】若x满足（280﹣x）（x﹣250）＝200．求（280﹣x）2+（x﹣250）2的值；
（2）【联系拓展】若x满足（2024﹣x）（2020﹣x）＝5，则（2024﹣x）2+（2020﹣x）2＝　26　；（直接写出结论，不用说明理由．）
（3）【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为180平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
【解答】解：（1）设 280﹣x＝a，x﹣250＝b，
则 （280﹣x）（x﹣250）＝ab＝200，
a+b＝（280﹣x）+（x﹣250）＝30，
所以 （280﹣x）2+（x﹣250）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×200＝500；
（2）设 2024﹣x＝a，2020﹣x＝b，
则 （x﹣2024）（2020﹣x）＝﹣ab＝﹣5，
﹣a+b＝（x﹣2024）+（2020﹣x）＝﹣4，
所以 （2024﹣x）2+（2020﹣x）2＝（x﹣2024）2+（2020﹣x）2＝（﹣a）2+b2＝（﹣a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×（﹣5）＝16+10＝26，
故答案为：26；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∴阴影部分的面积和为 （20﹣x）2+（12﹣x）2，
∵长方形 CEPF 的面积为180，
∴．（20﹣x）（12﹣x）＝180，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣180，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，
则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣180，
a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
∴（20﹣x）2+（x﹣12）2
＝（20﹣x）2+（12﹣x）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝82﹣2×（﹣180）
＝424，
∴阴影部分的面积和为424平方单位．
24．（12分）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（AB、CD）和一块含45°角的直角三角板（∠EFG＝90°）“为主题开展数学活动，已知点E、F不能同时落在直线AB和CD之间．
（1）【探究】如图1，把三角板的45°角的顶点E、G分别放在AB、CD上，若∠BEG＝140°，求∠FGC的度数；
（2）【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
（3）【拓展】把三角板的锐角顶点G放在CD上，在绕点G旋转三角板的过程中，若（∠DGE＜45°），请直接写出射线GF与AB相交所夹锐角的度数．
【解答】解：（1）依题意得：∠FGE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BEG+∠EGD＝180°，
∠BEG＝140°，
∴∠EGD＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EGF＝45°，∠FGC+∠EGF+∠EGD＝180°，
∴∠FGC＝180°﹣45°﹣40°＝95°；
（2）如图2：过点E作EN∥CD，
依题意得：∠BME＝25°，∠FEG＝∠FGE＝45°，
∵AB∥CD，EN∥CD，
∴AB∥EN∥CD，
∴∠NEM＝∠BME＝25°，
∴∠NEG＝∠FEG﹣∠NEM＝45°﹣25°＝20°，
∴∠DGE＝∠NEG＝20°，
∴∠FGD＝∠FGE+∠DGE＝45°+20°＝65°，
∴∠FGC＝180°﹣∠FGD＝180°﹣65°＝115°；
（3）射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5° 或 11.25°；理由如下：
分两种情况讨论如下：
①当点E在CD上方时，设AB交GF于点H，如图3所示：
依题意得：∠FEG＝∠FGE＝45°，
设∠DGE＝α，则∠FGC＝5∠DGE＝5α，
∵∠DGE+∠FGE+∠FGC＝180°，
∴5α+45°+α＝180°，
解得：α＝22.5°，
∴∠FGC＝5α＝112.5°，
∵AB∥CD，
∴∠AHG＝180°﹣∠FGC＝180°﹣112.5°＝67.5°；
②当点E在CD下方时，延长GF交AB于点H，如图4所示：
依题意得：∠FGE＝45°，
设∠EGD＝β，则∠FGC＝5∠DGE＝5β，
∴∠FGD＝∠FGE﹣∠EGD＝45°﹣β，
∠FGC+∠FGD＝180°，
∴5β+45°﹣β＝180°，
解得：β＝33.75°，
∴∠FGC＝5β＝168.75°，
∵AB∥CD，
∠AHG＝180°﹣∠FGC＝180°﹣168.75°＝11.25°，
综上所述：射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5°或11.25°．