人教版（2024）数学八年级下册第十九章 一次函数复习课 教学设计（表格式）

第十九章 一次函数（复习课）
教学的实质是以教材中提供的素材或实际生活中的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、数形结合和方程的思想方法，达到学生知识的构建、能力的培养、情感的陶冶、意识的创新．
一、教材及教学内容分析
（一）教材的地位和作用分析
一次函数是人教版八年级下册第十九章的内容．
本节课是在前面学习了一次函数的相关知识的基础上，通过复习构建完整的知识网络，巩固已经学过的知识，研究一次函数在实际问题中的应用，渗透数形结合、函数模型等重要思想方法，它既是前面所学知识的延伸，也是后面学习二次函数、反比例函数的重要知识储备，我们常常利用它来解决生活中的实际问题，因此本节课具有承上启下的重要作用．
本节课通过“复习—探究—归纳—巩固—反馈”的过程，进一步培养学生的观察能力、分析能力、逻辑推理能力和归纳能力，因此，本堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的意义和作用．
教学内容的分析
本节课是一次函数的复习课，在掌握一次函数的图象和性质的基础上着重探究其应用”。在教学的过程中，通过举贴近学生生活的国庆小长假租共享汽车出游的实例，结合一次函数的实际应用，让学生感知生活中处处有数学，感受生活中的数学美；通过学生感兴趣的问题情景引入复习课，提高学生的学习乐趣；通过发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的教学过程让学生回顾一次函数的知识点；通过开展小组讨论等活动，探究发现一次函数的图象和性质，渗透数形结合的思想方法．本节课的设计上，尽量把一次函数的知识与生活实际有机地结合起来，经历知识的“再发现”过程，从而提高学生的学习兴趣，在探究活动的过程中发展创新思维能力．
在例题的选取上，注重联系实际，激发学生学习兴趣，让学生主动用数学知识解决实际问题，同时渗透数形结合和函数模型的数学思想方法，让学生形成属于自己的数学思维和能力．
二、目标及其解析
（一）教学目标
知识技能
1．了解正比例函数与一次函数的定义，进一步认识待定系数法；
2．经历复习探究一次函数的图象和性质的过程，理解一次函数的图象和性质；
3．掌握数形结合的思想方法，能运用数形结合的思想方法解决生活中的实际问题．
数学思考
经历复习一次函数的过程，体会探究的必要性，理解数形结合的数学思想，强化数学的建模意识，提高利用演绎和归纳进行复习的能力.
解决问题
1．能运用数形结合的思想方法解决生活中的实际问题，发展学生数学的应用能力，获得解决问题的经验；
2．在小组活动和探究过程中，学会与人合作，体会与他人合作的重要性.
情感态度与价值观
1. 经历“复习—探究—归纳—巩固—反馈”的过程，体验数学活动充满着探究性和创造性，感受数形结合的必要性、数学推理的严谨性以及结论的确定性，并有克服困难和运用知识解决问题的成功体验，建立学好数学的自信心，通过对零散知识点的系统整理，让学生认识到事物是有规律可循的，同时帮助他们提高复习的效果，增进数学学习的兴趣；
2. 经历运用数形结合思想解决实际问题的过程，认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用；
3. 在独立思考的基础上，通过小组合作，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，在交流中获益；
（二）教学重点：一次函数的图象和性质及其应用.
（三）教学难点：运用一次函数数形结合的思想分析、解决实际问题．．
（四）解析
本堂课是一次函数的复习课，所以对于本堂课的知识目标的定位，主要考虑如下：
了解正比例函数与一次函数的定义，认识求一次函数解析式的方法待定系数法，在本节课中要达到如下要求：（1）了解正比例函数与一次函数的定义，知道正比例函数与一次函数的区别与联系；（2）知道求一次函数解析式的方法是待定系数法，并会用待定系数法求一次函数解析式；
2．经历复习探究一次函数的图象和性质的过程，掌握一次函数的图象和性质；在上课的过程中让学生参与一次函数的图象和性质的复习和探索，鼓励学生用规范的数学言语表述解题过程，发展学生的数学语言能力；
3．掌握数形结合的思想方法，能运用数形结合的思想方法解决生活中的实际问题，
本节课要达到以下要求：掌握一次函数的图象和性质及数形结合的思想方法，会利用数形结合的思想方法解决生活中的实际问题．
问题诊断分析
八年级的学生思维活跃并且已初步具备自主探索及归纳的能力，逻辑思维较强．对于授课班级的学生来说，他们总体层次较好，接受能力较强，基本上掌握了一次函数的概念、表示方法和解法，在学习了一次函数的图象和性质后，已经初步具有了数形结合和函数模型的意识．但从实际问题中发现相关问题并提出问题建立数学模型还是存在一定困难．因此，在本节课的教学中同时要注意培养和提高学生分析问题与解决问题的能力．在教学中我采用先解决实际问题，再对数学知识和思想方法进行归纳，最后再运用学知识和数学思想方法解决其他实际问题的流程，为学生搭一个台阶，从而更好地解决这个难点．在设计问题时，我注重挑选与数形结合联系比较紧密的实际问题，让学生主动运用数学知识解决实际问题，通过练习渗透数形结合和函数模型的数学思想方法，发展学生应用数学的意识，提高学生分析问题与解决问题的能力，培养学生学习数学的兴趣．
四、教法、学法：
（一）教法：
常言道：“教必有法，教无定法”．所以我针对八年级学生的心理特点和认知能力水平，大胆应用生活中的素材，并作了精心的安排，充分体现数学是源于实践又运用于生活．因此，本堂课的教学中，我以学生为主体，让学生积极思维，勇于探索，主动地获取知识．同时，采用了现代化教学技术，激发学生的学习兴趣，使整个课堂“活”起来，提高课堂效率．本堂课以生活中的一些例子为中心，让学生亲自尝试，接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一个宽松愉快的学习氛围，让学生体验成功的快乐，为终身学习和发展打打下坚实的基础．
本堂课的设计是以新课程标准和教材为依据，采用复习探究式教学．遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性．教学过程中，注重学生探究能力的培养．还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维．同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生主动学习的意识．
（二）学法：
学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“复习—探究—归纳—巩固—反馈”的主线进行学习．让学生从活动中去复习、探究、归纳知识，沿着知识发生，发展的脉络，学生经过自己亲自思考、提出问题、解决问题，形成自己的经验，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动构建．这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会自主学习，学会探索问题的方法．
五、教学支持条件分析
在本堂课中，利用常规教学用具、多媒体动画演示、几何画板、智慧课堂等方法再探究一次函数的图象和性质，渗透数形结合的思想方法，并且借助多媒体信息技术加强对学生所学知识的理解和运用，通过数据分析及时准确地掌握学生学习的情况．
六、教学基本流程
七、教学过程设计：
教学环节 教学过程 设计意图
情景引入创 1．情景引入例1．小明一家在“国庆节”期间租用共享汽车自驾出游，设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元． 情景的创设，联系刚过的十一国庆节，结合出行时尚的共享汽车，目的是为了唤起学生的好奇，激发学生的兴趣和探究欲，体会生活中处处都有数学，并能自然地过渡到本节课的课题.
复习探究 活动一：自主复习，板书展演分别求出y1，y2关于x的函数关系式；解：设y1=k1x（k1≠0），把（1，30）代入，可得30=k1，即k1=30，∴y1=30x（x≥0）设y2=k2x+80（k2≠0），把点（1，95）代入，可得95=k2+80，解得k2=15，∴y2=15x+80（x≥0）．问题：（1）y1=30x是什么函数？正比例函数是一次函数吗？（2）y2=15x+80是什么函数？一次函数是正比例函数吗？请说明理由？（3）求一次函数解析式的方法叫什么？2．概念回顾（1）正比例函数：一般地，形如 （k是常数， ）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．（2）一次函数：一般地，形如 （k，b是常数， ）的函数，叫做一次函数．（3）当 时，y=kx+b即为y=kx，所以正比例函数是特殊的一次函数．（4）求一次函数解析式的方法是 ．3．巩固训练1．判断题：（1）函数是正比例函数（ ）（2）函数既是正比例函数又是一次函数（ ）（3）函数是一次函数的是（ ） 2．若函数y=（m－1）x|m|+2是一次函数，则m的值为（　　）A．m=±1 B．m=－1 C．m=1 D．m≠－1 利用问题引出知识点的复习方式，让学生在亲自体验知识升华、思想渗透的过程中，激发学生探求知识的好奇心和求知欲，并在探究过程中获得成功的体验，同时也培养了学生自主探究学习的能力.问题（1）的设计目的在于从图象特征判断函数类别，让学生明确一次函数与正比例函数之间的区别与联系；通过待定系数法求函数解析式，鼓励学生运用规范的数学语言来书写解题过程，培养学生运用数学语言的能力.通过概念回顾的填空，让模糊的知识变得清晰准确，加深学生对正比例函数和一次函数定义的掌握和理解.训练1的设置目的在于强化概念，提高学生对一次函数的辨析能力，其中（1）的设置为后面反比例函数的学习做了铺垫．训练2的设置目的在于巩固解析式中系数k≠0这一重要知识点，两道练习题的设置为一次函数相关知识点的延伸做了强有力的保证．
复习探究 深入探究（2）如何求交点A的坐标，并说明点A的实际意义．解：【从数解形】设A的坐标为（x，y）解得∴A的坐标为（，160）．A的实际意义：当租车时间为小时时，租车费用为160元．问题：（5）求该问题运用了数学中哪个重要的思想方法？从数的角度，本题可以转化为求什么？从形的角度呢？（6）求两条直线交点的坐标可用什么方法？归纳：数：求方程组的解； 形：求两条直线交点的坐标；求两条直线交点的坐标的方法：联立方程组求解；可借助数形结合的思想方法解决一次函数与方程（组）的问题． 问题（2）的设计，引导学生主动思考，积极想办法解决求交点坐标这一难点.启迪学生利用二元一次方程组来求解一次函数图象交点的坐标.通过从数与形两个角度进行转化分析，让学生初步认识数形结合的思想方法，并能通过“以数解形”的思想来解决一次函数图象交点的问题，感受数形结合的意义，为第（3）问问题的解决和思想的升华埋下伏笔.通过学生自主探究获取知识的过程，体会自己努力，获取成功的体验，提高学生学习热情和学习的自信心.
思想提炼 合作探究活动二：分组讨论，合作交流请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．分析：根据学习的经验，大部分学生可能会想到利用不等式来解决该问题，而少部分学生会选择用数形结合的思想方法，解决本题的关键在于找准突破口.解：【以形助数】如图所示①当0≤x<时，选择甲公司合算；②当x=时，选择甲和乙公司一样合算；③当x>时，选择乙公司合算.问题：（7）从数的角度，本题可以转化为求什么？从形的角度呢？归纳：数：求不等式的解集； 形：比较函数图象的高低；可借助数形结合的思想方法解决一次函数与方程（组）、不等式的问题． 问题（3）在问题（2）的基础上，激发学生进一步思考，撞击学生思维的火花.让学生自然想到要选择哪个出游方案合算，可以通过从形的角度即通过找交点坐标，观察函数图象高低的思路解决问题，但是大部分学生，对一次函数性质的理解不透彻，运用不熟练，依然会选择用不等式来解决该问题，让简单问题复杂化，在课堂训练中，选取两种比较有代表性的做法，让学生对比分析、归纳总结，挑选出最便捷的解题方法，从而鼓励学生运用数形结合的思想方法解决类似问题．问题（2）、问题（3）体现了数形结合思想方法中“以数解形”、“以形助数”的价值和魅力.通过对例1的剖析，加深了学生对一次函数定义的印象，巩固了求一次函数解析式的方法待定系数法，教会了学生如何运用数形结合思想解决实际问题.
性质归纳 6．性质归纳活动三：分组讨论，合作展示已知一次函数y=－x+3的图象如图所示．问题：函数y=－x的图象经过怎样的平移得到函数y=－x+3的图象？函数y=－x的图象经过怎样的平移得到函数y=－x－2的图象？函数y=－x－2的图象经过怎样的平移得到函数y=－x+3的图象？该函数有哪些性质？归纳：一次函数图象的平移：（1）直线平移口诀：上 下 ．（2）平移前后：【数】两直线系数k的关系为： ；【形】两直线的位置关系为： ．（2）一次函数与正比例函数的图象与性质： 例2的设置主要是在学生已经掌握数形结合思想的知识结构上，来研究一次函数图象的性质，逆向的复习探究方式，可以启发学生更深层次和更高视角来回顾已学知识，让一次函数的图象和性质可以得到巩固的同时，也让学生对数形结合思想的理解更加透彻．探究中环环相扣的问题串的设计，活跃学生的思维，加深教师和学生的沟通，鼓励学生参与知识的探究过程，唤醒学生的求知欲，给学生展示自己“才华”的机会，锻炼学生探究问题的能力.目的是使学生能巧妙利用所学到的数形结合的思想，归纳一次函数的图象和性质.经历知识的“再发现”过程.在探究活动的过程中发展学生创新思维能力，提升了学生的知识层面.通过填表，让学生把刚才获取的零散的知识进行系统的整理归类，进一步理解一次函数的图象和性质．随着复习的逐级推进学生对一次函数相关知识点已基本掌握，这为下一步探索一次函数的应用做好了准备，激发学生的好奇心.经历复习、探究、归纳的研究一次函数的图象和性质及数形结合思想的全过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的科学精神.
性质归纳 活动四：一题多解，合作探究例3．已知，点（－1，y1），（2，y2）在一次函数y=2x－1的图象上，则y1 y2．问题：（9）还有其它的解法吗？小组讨论．归纳：解法一：代入法；解法二：增减性法；解法三：图象法． 例3设置目的在于鼓励学生进行小组合作探究，运用本节课学到的知识进行分析讨论，寻找不同解法的突破口和切入点，知识得到应用的同时，也培养了学生发散思维、探究问题的能力.通过小组合作及时讲解、补充，让学生体会小组合作的必要性．从中培养学生的辩证能力、协作学习的精神和语言表达能力．
学以致用学以致用 巩固训练一、选择题1．将直线y=2x+1变成y=2x－1经过的变化是（　 ）A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位2．为增强居民的节水意识，某市自2017年实施“阶梯水价”．按照“阶梯水价”的收费标准，居民家庭每年应缴水费y（元）与用水量x（立方米）的函数关系的图象如图所示．则提价后每立方米水的价格为（　　）A．5元 B．6元C．7元 D．8元3．国内航空规定，乘坐飞机经济舱旅客所携带行李的重量x与其运费y（元）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么旅客可携带的免费行李的最大重量为（　　）A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg二、填空题4．直线y=－2x+4与x轴的交点坐标是　 　，与y轴的交点坐标是　 　，这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是　 　．5．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、二、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，2）．此一次函数的解析式可以是 ．三、解答题 6．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 练习1的设计，启迪学生通过一次函数图象平移的性质解决问题，巩固强化性质，提高知识的应用能力.练习2、3，主要目的是引导学生运用数形结合和函数模型的思想去解决函数的实际问题，在解题过程中让学生亲自体会数形结合思想方法的意义和价值．数形结合思想的掌握，可以在一定程度上降低解题难度，减少学生的学习负担，这样学生就会爱上数，并且学会学，激发学生的学习兴趣，提高学习的自信．练习4的设置，启发学生从数的角度来研究一次函数的性质，通过解题让学生掌握在x轴、y轴上点的坐标的特点，通过画函数图象，让学生理解直线与两坐标轴围成的三角形及面积算法，体现了直观想象的数学核心素养.练习5属于开放性题目，可以激发学生充分运用所学知识及学习经验解决问题，达到学以致用的目的.练习6与例1首尾呼应，两题都是以当前社会关注度较高的实例作为背景，让学生真正领悟数学即来源于生活又服务于生活.一次函数的应用是本节课的核心内容，所以必须要让学生明白，不能得过且过．当学生经过独立完成、小组交流之后，大部分的学生，大部分的题已经解决了，剩下部分由学生答疑或教师答疑，这样透彻的研究，也可以让学生学会学习方法．结合本堂课所学的内容，通过这些习题，进行很好的巩固.这样设计问题符合数学知识的连贯性原则，让学生在学习过程中体验成功的快乐，并通过数学思想方法的渗透，提高学生数学思维和能力.
课堂小结 8．课堂小结谈谈你本节课的体会和收获.正比例函数与一次函数有何异同？一次函数与方程（组）、不等式之间的关系；一次函数图象的性质及应用；学习了哪些数学思想方法？ 小结设计以开放的形式出现，给学生提供一个交流和倾听的机会．让学生对本节课学到的内容进行总结，实现了自我的反馈，从而构建起自己的知识经验，形成自己的见解.
作业布置 9．作业布置A组：1．弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）关系如右图所示，则弹簧不挂重物时的长度是 cm．2．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系的图象如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当生产这种产品每吨的成本为7万元时，求该产品的生产数量．B组：3．为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数关系式；（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 作业以实际应用为主，通过一次函数性质在生活中的应用，让学生明白：数学知识即来源于生活又服务于生活，原来我们周围已经存在了许许多多有趣的数学知识，等着我们去观察、去发现、去探索. 并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心；发展学生应用意识.作业具有一定的梯度，这样可以面向全体学生，让各层次的学生均学有所得．
自我评价 10．自我评价：1．学习活动中，你得到快乐了吗？( A．得到 B．得到很少 C．得到一些 D．没有得到 )2．在探究问题时，你积极帮助了别人或接受了别人帮助吗？( A．帮助过别人，也接受过别人帮助 B．帮助过别人C．接受过别人帮助 D．没有 )3．在完成作业时，遇到困难吗 ( A．没有遇到 B．遇到 C．遇到一些 D．遇到很多 ) 安排学习评价目的是培养学生形成自我评价的能力，也让老师更好地了解学生对这一节课内容的掌握情况，从而获得更为真实的反馈信息．
附：板书设计：
设计意图：简洁、有条理的板书设计，使学生对本节课的主要知识一目了然，加深印
复习探究
思想
提炼
性质
归纳
巩固训练
课堂
小结
问题
情景
作业
评价
直线y=k1x+b ．
向上平移a个单位长度
向下平移a个单位长度
直线y=k1x+b ．
直线y=k1x+b
（k≠0）
（第2题图）
（第3题图）
（第1题图）
（第2题图）
例1：（1）解
…………
…………
例1：（2）解
…………
…………
第十九章 一次函数（复习课）
一次函数
（正比例函数）
定义
（待定系数法）
与方程（组）
图象
（性质）
与不等式
解决实际问题
（数形结合、方程思想……）
PAGE
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