上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：数列

上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编
数列
一、填空题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）
数列，则是该数列的第 项.
2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知数列的各项均为正整数，对于，有 ( http: / / www.21cnjy.com )
其中k为使为奇数的正整数. 若存在， 当n＞m且为奇数时，恒为常数p，则p的值为　　　　
3、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列是等差数列，和是方程的两根，则数列的前项的和为__________．
4、（虹口区2016届高三上学期期末）在等差数列中，
则数列的前10项的和等于___ __.
5、（黄浦区2016届高三上学期期末）若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．
6、（金山区2016届高三上学期期末）某 ( http: / / www.21cnjy.com )种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ．
7、（静安区2016届高三上学期期末）在等差数列（ ）中 ，已知公差，，则 .
8、（闵行区2016届高三上学期期末）若是等差数列的前项和，且，则 .
9、（普陀区2016届高三上学期期末）在数列中，，， 则数列的各项和为______.
10、（松江区2016届高三上学期期末）若等比数列满足，且公比，则 ▲ ．
11、（杨浦区2016届高三上学期期末）无穷等比数列()的前项的和是，
且，则首项的取值范围是_________
12、（闸北区2016届高三上学期期末）等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和最大的正整数的值是 ；
13、（长宁区2016届高三上学期期末）设等差数列的前n 项和为S n，若
14、（长宁区2016届高三上学期期末）已知数列的通项公式分别是，其中 a、b 是实常数，若，且a、b、c 成等差数列，则c的值是___________.
15、（虹口区2016届高三上学期期末）在由正整数构成的无穷数列中，对任意的且对任意的数列中恰有，则
填空题参考答案：
1、128　　2、1或5　　3、　　4、80　　5、
6、　　7、2025　　8、5　　9、1　　10、20
11、　　12、5　　13、190　　14、　　15、63
二、选择题
1、（奉贤区2016届高三上学期期末）已知数列，则…………（ ）．
； ； ；
2、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知，，，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零．若线段，，，的长分别为，，，，则 [答] ( C )．
A．对任意的，均存在以，，为三边的三角形
B．对任意的，均不存在以，，为三边的三角形
C．对任意的，均存在以，，为三边的三角形
D．对任意的，均不存在以，，为三边的三角形
3、（静安区2016届高三上学期期末）已知数列的通项公式为，则( ) A． B．0 C．2 D．不存在4、（青浦区2016届高三上学期期末）已知是等比数列，给出以下四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列，下列命题中正确的个数是 ………………………………………………………………………………………（ ）.
（A）个 （B）个 （C） 个 （D）个
5、（松江区2016届高三上学期期末）在一 ( http: / / www.21cnjy.com )个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”. 已知数列1，2. 第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为
88572 88575 29523 29526
6、（长宁区2016届高三上学期期末）已知数列的前n 项和，第k项满足 ，则k 等于（ ）
A. 6 　　B. 7 　　C. 8 　　D. 9
选择题参考答案：
1、B　　2、C　　3、A　　4、B　　5、B　　6、B　
三、解答题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，
公差为2的等差数列.
(1)求证：数列是等比数列；
(2) 若，当时，求数列的前项和的最小值；
（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
2、（崇明县2016届高三上学期期末）设m 个正数依次围成一个圆圈．其中
(k＜m,k∈N*)是公差为d 的等差数列，而是公比为q 的等比数列．
⑴ 若，求数列的所有项的和S m；
⑵ 若，求m的最大值；
⑶ 当q ＝2时是否存在正整数k ，满足
？若存在，求出k 值；若不存
在，请说明理由．
3、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列的前项和记为若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，
则称是“H数列”．
(1)、若数列的通项公式，判断是否为“H数列”；
（2）、等差数列，公差，，求证：是“H数列”；
（3）、设点在直线上，其中，．
若是“H数列”，求满足的条件．
4、（虹口区2016届高三上学期期末）已知数列的前n项和为，且
（1） 计算 并求数列的通项公式；
（2） 若数列满足求证：数列是等比数列；
（3）由数列的项组成一个新数列：
. 设为数列的前n项和，试求的值.
5、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（），，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，记．
（1）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列．
（2）写出（），并用含的式子表示．
（3）利用，
证明：及．
（参考：．）
6、（金山区2016届高三上学期期末）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且(nN*)．
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设数列满足，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn；
(3) 设，问是否存在正整数，使得当任意正整数n > N时恒有Cn>2015成立？若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由．
7、（静安区2016届高三上学期期末）李克 ( http: / / www.21cnjy.com )强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？
8、（闵行区2016届高三上学期期末）已知数列的各项均为整数，其前项和为．规定：若数列满足前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，则称数列为“关联数列”．
（1）若数列为“关联数列”，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；
（3）已知数列为“关联数列”，且，是否存在正整数，使得若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
9、（普陀区2016届高三上学期期末）已知，数列的前项和为，且.
（1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式；
（2）对于任意（其中，，均为正整数），若和的所有乘积的和记为，试求的值；
（3）设，若数列的前项和为，是否存在这样的实数，使得对于所有的都有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
10、（青浦区2016届高三上学期期末）设数列的所有项都是不等于的正数，的前项和为，已知点在直线上（其中常数，且）数列，又．
（1）求证数列是等比数列；
（2）如果，求实数的值；
（3）若果存在使得点和都在直线在上，是否存在自然数，当（）时，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
11、（松江区2016届高三上学期期末）对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．
（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）若各项均为正数的等比数列的公比，求证：是“趋稳数列”；
（3）已知数列的首项为1，各项均为整数，前项的和为. 且对任意，都有， 试计算： （）．
12、（闸北区2016届高三上学期期末）已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，，求的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
13、（长宁区2016届高三上学期期末）已知点（n为正整数）都在函数的图像上.
（1）若数列是等差数列，证明：数列是等比数列；
（2）设的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，试求最小的实数t ，使对一切正整数n 恒成立；
（3）对（2）中的数列，对每个正整数k ，在之间插入个 3，得到一个新的数列，设是数列的前n 项和，试探究2016 是否是数列中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明.
解答题参考答案
1、解：(1) 证：由题意，即，
∴ ---------------------------------2分
∴.
∵常数且，∴为非零常数，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列. -----------------------4分
(2) 当时， , ，----------------------6分
所以-------------------8分
因为,所以，是递增数列，
因而最小值为。----------------------10分
(3) 由(1)知，，要使对一切成立，
即对一切成立. ----------------------12分
当时，，对一切恒成立；---------------14分
当时，，对一切恒成立，
只需，-------------------------------------------------16分
∵单调递增，
∴当时，. -----------------------------------17分
∴，且， ∴.
综上所述，存在实数满足条件. ------------------18分
2、
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3、解析:（1）
当时， 1分
是奇数，是偶数 2分
3分
∴不是“H数列” 4分
（2） 6分
对任意，存在使，即
8分
是一奇一偶，一定是自然数 10分
（3）时
，
12分
13分
14分
时，
不恒成立 显然不是“H数列” 15分
时
16分
是“H数列”，所以对任意时,存在成立
,,
的正实数 18分
4、解：（1）当时，由得 由得
当时，由得
当时，由得
猜想： ……(3分)
下面用数学归纳法证明：
① 当时， 结论显然成立；
② 假设当时，由条件知故
于是
故数列的通项公式为： ……(6分)
另解（1）：当时，由得 由得
当时，由得
当时，由得 ……(2分)
当时，由条件知故
于是 ……(4分)
故 于是数列的通项公式为：……(6分)
证：（2）当时， 当时，由条件得
从而 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)
解：（3）由题意，得
从而 ……(16分)
注：在解答第（3）小题时，可直接求出.
5、[证明]（1）若（），则有，于是．（2分）
当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数，
因为，，…，均为正整数，所以不存在满足（）的数列4分
[解]（2）（）．（6分）
因为，于是
．（10分）
[证明]（3）先证．
①，
这里，（），因为，，…，为从到按任意次序排列而成，所以，，…，为从到个整数的集合，从而，（12分）
于是由①，得，
因此，，即．（14分）
再证．
由，得
16分
因为，
即，
所以，
即．（18分）
6、解：（1）时，，且，解得
时，，两式相减得：
即，，
，为等差数列，． ……………………………4分
（2），．
当为偶数时，Tn=(b1+b3+…+bn–1)+(b2+b4+…+bn) ,
当为奇数时，Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn–1)
………………………………10分
(3),
当n为奇数时，，
∴Cn+2因此不存在满足条件的正整数N．……………………………………………………18分
7、解法1：（1）设个月的余款为，则
，
，
。。。。。。
，
=（元），
法2：，
一般的，，
构造，
，
。
（2）194890-1000001.05=89890（元），
能还清银行贷款。
8、[解]（1）为“6关联数列”，前6项为等差数列，从第5项起为等比数列
且， 即，解得 …………2分
（或）． ……………………4分
（2）由（1）得（或）
…………………………………6分
，
，可见数列的最小项为，
证明：，
列举法知当时，； ………………………………………8分
当时，，设，则，． ……………………10分
（3）为“关联数列”，且
，
…………………………12分
①当时，由得
，或．
②当时，由得，不存在 ………………14分
③当时，由，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，舍去；当时，舍去
当时，舍去；当时，舍去……16分
综上所述，存在或或或． …………………18分
9、
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10、解：（1）因为、都在直线上，所以，
即，又，且，所以为非零常数，所以数列是等比数列
（2）由得，即得．
由在直线上得上，令得
（3）由知恒成立等价于恒成立．
因为存在使得点和都在直线在上，所以，即，另，易证，又，
即是首项为正，公差为的等差数列．
所以一定存在自然数，使即，解得，，．存在自然数，其最小值为使得当（）时，恒成立时，恒成立．
11、解：（1）由题意，即………………2分
解得 ………………4分
（2）由已知，设，因且，故对任意的，都有 ………………5分
∴ ， ………………7分
因∴
∴,,,,,
∴ …………………8分
∴
∴
∴
即对任意的，都有，故是“趋稳数列”……10分
(3) 当时，
当时，
∴
同理， ……………… 12分
因
∴
即 ……………… 14分
所以 或
所以 或
因为，且，所以， 从而 ………… 16分
所以
………… 18分
12、
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13、
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将2016代入，可知2016不是其中一项。