一 相似多边形
【A层 基础夯实】
知识点1 相似多边形的判定
1.(易错警示题·概念不清)(多选题)下列图形中相似的是 ( )
A.两个矩形 B.两个圆
C.两个正方形 D.两个等边三角形
2.如图,有甲、乙、丙三个矩形,其中相似的是 ( )
A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.甲、乙和丙
知识点2 相似多边形的性质
3.如图,小康利用复印机将一张长为5 cm,宽为3 cm的矩形图片放大,其中放大后的长为10 cm,则放大后的矩形的面积为 ( )
A.60 cm2 B.58 cm2
C.56 cm2 D.50 cm2
4.若六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1且六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比k1=6,则六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比k2为 ( )
A. B. C.6 D.1
5.平行四边形ABCD与平行四边形A'B'C'D'相似,已知AB=5,对应边A'B'=6,若平行四边形ABCD的边BC的长为25,则平行四边形A'B'C'D'的边B'C'的长为 ( )
A.15 B.20 C.25 D.30
6.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,则BC= ,CD= ,α= .
7. 如图,E,F分别是 ABCD的边AD,BC的中点,若 ABFE与 ABCD相似,AB=4,则AD= .
8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,P是AB上一点,PE∥BC交CD于点E.若AD=2,BC=,AB=5,则AP为何值时,PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形
【B层 能力进阶】
9.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,相似比为2∶3,四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似,相似比为5∶4,则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为 ( )
A.5∶6 B.6∶5
C.5∶6或6∶5 D.8∶15
10. 已知矩形OABC∽矩形OA'B'C',B'(10,5),AA'=1,则CC'的长是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
11. (2023·威海中考)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为 ( )
A.-1 B.-1
C.+1 D.+1
12. 秋天红透的枫叶,总能牵动人们无尽的思绪,所以诗人杜牧说:“停车坐爱枫林晚,霜叶红于二月花.”如图是两片形状相同的枫叶图案,则x的值为 .
13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)若两个相似多边形的最长边的长度分别为16和32,且其中一个多边形的最短边长为8,则另一个多边形的最短边长为 .
14.在长8 cm,宽6 cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形的面积是 cm2.
15.(2024·西安质检) 如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,E,F分别是AB,CD上的点,且AE=DF=8,两动点M,N都以2 cm/s的速度分别从C,F两点沿CB,FE向B,E两点运动,判断当M,N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似,并证明你的结论.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2024·台州质检)某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时,他们发现结论一:将外面大三角形按图(1)的方式向内缩小,得到新三角形,它们对应的边间距都为1,则通过测量可得新三角形与原三角形的对应角相等,对应边成比例,因此他们得到新三角形与原三角形相似(可以证明其正确).
结论二:依照上面结论他们归纳得:将邻边为6和10的矩形按图(2)的方式向内缩小,得到新的矩形,它们对应的边间距都为1,则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题:
(1)你认为结论二是否正确 请说明理由.
(2)如图(3),已知△ABC,AC=6,BC=8,AB=10,将△ABC按图(3)的方式向外扩张,得到△DEF,它们对应的边间距都为1,DE=15,求△DEF的面积.一 相似多边形
【A层 基础夯实】
知识点1 相似多边形的判定
1.(易错警示题·概念不清)(多选题)下列图形中相似的是 (BCD)
A.两个矩形 B.两个圆
C.两个正方形 D.两个等边三角形
2.如图,有甲、乙、丙三个矩形,其中相似的是 (B)
A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.甲、乙和丙
知识点2 相似多边形的性质
3.如图,小康利用复印机将一张长为5 cm,宽为3 cm的矩形图片放大,其中放大后的长为10 cm,则放大后的矩形的面积为 (A)
A.60 cm2 B.58 cm2
C.56 cm2 D.50 cm2
4.若六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1且六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比k1=6,则六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比k2为 (B)
A. B. C.6 D.1
5.平行四边形ABCD与平行四边形A'B'C'D'相似,已知AB=5,对应边A'B'=6,若平行四边形ABCD的边BC的长为25,则平行四边形A'B'C'D'的边B'C'的长为 (D)
A.15 B.20 C.25 D.30
6.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,则BC= 25 ,CD= 10 ,α= 80° .
7. 如图,E,F分别是 ABCD的边AD,BC的中点,若 ABFE与 ABCD相似,AB=4,则AD= 4 .
8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,P是AB上一点,PE∥BC交CD于点E.若AD=2,BC=,AB=5,则AP为何值时,PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形
【解析】∵PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形,∴梯形ADEP∽梯形PECB,∴=,
∵AD=2,BC=,∴PE=3,
∴相似比为,∴AP=AB=2.
【B层 能力进阶】
9.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,相似比为2∶3,四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似,相似比为5∶4,则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为 (A)
A.5∶6 B.6∶5
C.5∶6或6∶5 D.8∶15
10. 已知矩形OABC∽矩形OA'B'C',B'(10,5),AA'=1,则CC'的长是 (B)
A.1 B.2
C.3 D.4
11. (2023·威海中考)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为 (C)
A.-1 B.-1
C.+1 D.+1
12. 秋天红透的枫叶,总能牵动人们无尽的思绪,所以诗人杜牧说:“停车坐爱枫林晚,霜叶红于二月花.”如图是两片形状相同的枫叶图案,则x的值为 11 .
13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)若两个相似多边形的最长边的长度分别为16和32,且其中一个多边形的最短边长为8,则另一个多边形的最短边长为 16或4 .
14.在长8 cm,宽6 cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形的面积是 27 cm2.
15.(2024·西安质检) 如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,E,F分别是AB,CD上的点,且AE=DF=8,两动点M,N都以2 cm/s的速度分别从C,F两点沿CB,FE向B,E两点运动,判断当M,N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似,并证明你的结论.
【解析】设M,N运动时间为ts时,能使矩形CFNM与矩形AEFD相似,
由题意得=或=,
解得:t=4或t=1.
当t=4时,NF=8,
∵==,
且四边形CFNM与四边形AEFD都是矩形,
∴矩形CFNM与矩形AEFD相似.
同理可证当t=1时矩形CFNM与矩形AEFD相似.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2024·台州质检)某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时,他们发现结论一:将外面大三角形按图(1)的方式向内缩小,得到新三角形,它们对应的边间距都为1,则通过测量可得新三角形与原三角形的对应角相等,对应边成比例,因此他们得到新三角形与原三角形相似(可以证明其正确).
结论二:依照上面结论他们归纳得:将邻边为6和10的矩形按图(2)的方式向内缩小,得到新的矩形,它们对应的边间距都为1,则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题:
(1)你认为结论二是否正确 请说明理由.
(2)如图(3),已知△ABC,AC=6,BC=8,AB=10,将△ABC按图(3)的方式向外扩张,得到△DEF,它们对应的边间距都为1,DE=15,求△DEF的面积.
【解析】(1)结论二不正确.由题意可知,原矩形的邻边为6和10,
则新矩形邻边为4和8,
∵=,=,∴≠,
∴新矩形与原矩形不相似,
∴结论二不正确;
(2)∵AC=6,BC=8,AB=10,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
由结论一知△ABC∽△DEF,
∴∠DFE=90°,===,
∴=,=,∴DF=9,EF=12,
∴△DEF的面积为:×9×12=54.
