三 怎样判定三角形相似(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用两角分别相等判定两三角形相似
1.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是 （ ）
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
2.如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则图中相似三角形共有 （ ）
A.3对 B.5对 C.6对 D.8对
3.(2024·梅州质检)在△ABC和△A'B'C'中,如果∠A=56°,∠B=28°,∠A'=56°,∠C'=28°,那么这两个三角形是否相似 答: ,理由是 .
4.(2024·武汉期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°,求证:△ABE∽△ECD.
知识点2 判定两直角三角形相似
5. 如图,锐角△ABC的边AB,AC上的高CE和BF相交于点O,请写出图中的两对相似三角形 .
6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,作DE⊥AC于E,F是AB中点,连EF交AD于点G.
(1)求证:AD2=AB·AE;
(2)若AB=3,AE=2,求的值.
【B层 能力进阶】
8.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是CD,BC上的点,若∠AEF=90°,则一定有 （ ）
A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF
C.△ADE∽△ECF D.△ADE∽△ABF
9.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为 （ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点P是AC的中点,过点P的直线l截下的三角形与△ABC相似,这样的直线l的条数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.
12.如图,AD和BE都是△ABC的高,相交于F点,连接DE.
(1)求证:△CAB∽△CDE;
(2)若点D是BC的中点,CE=6,BE=8,则AB的长为 .
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力)如图,已知△ABC,∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC延长线于点P,Q.
(1)求∠PAQ的度数;
(2)若点M为PQ的中点,求证:PM2=CM·BM.三 怎样判定三角形相似(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用两角分别相等判定两三角形相似
1.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是 (C)
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
2.如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则图中相似三角形共有 (C)
A.3对 B.5对 C.6对 D.8对
3.(2024·梅州质检)在△ABC和△A'B'C'中,如果∠A=56°,∠B=28°,∠A'=56°,∠C'=28°,那么这两个三角形是否相似 答:△ABC∽△A'C'B',理由是两组角分别对应相等的两个三角形相似.
4.(2024·武汉期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°,求证:△ABE∽△ECD.
【证明】∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°,
∵∠AEC=∠B+∠BAE,
即∠AED+∠CED=∠B+∠BAE,
∵∠AED=45°,
∴∠BAE=∠CED,
∴△ABE∽△ECD.
知识点2 判定两直角三角形相似
5. 如图,锐角△ABC的边AB,AC上的高CE和BF相交于点O,请写出图中的两对相似三角形 △ABF∽△ACE △BOE∽△COF(答案不唯一) .
6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
【证明】∵BE=BC,∴∠C=∠CEB,
∵∠CEB=∠AED,∴∠AED=∠C,
∵AD⊥BE,∴∠D=∠ABC=90°,
∴△ADE∽△ABC.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,作DE⊥AC于E,F是AB中点,连EF交AD于点G.
(1)求证:AD2=AB·AE;
(2)若AB=3,AE=2,求的值.
【解析】(1)∵AD⊥BC,DE⊥AC,
∴∠ADC=∠AED=90°,
∵∠DAE=∠DAC,
∴△DAE∽△CAD,
∴=,
∴AD2=AC·AE,
∵AC=AB,∴AD2=AB·AE.
(2) 如图,连接DF.
∵AB=3,∠ADB=90°,BF=AF,
∴DF=AB=,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC,∴DF∥AC,
∴===,
∴=.
【B层 能力进阶】
8.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是CD,BC上的点,若∠AEF=90°,则一定有 (C)
A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF
C.△ADE∽△ECF D.△ADE∽△ABF
9.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为 (B)
A.8 B.10 C.12 D.14
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点P是AC的中点,过点P的直线l截下的三角形与△ABC相似,这样的直线l的条数是 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.
【解析】∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD,∵BC=4,∴CD=4,
∵∠D=∠ABD,∠CED=∠AEB,
∴△CDE∽△ABE,∴=,
∴=,∴CE=AE,
∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.
12.如图,AD和BE都是△ABC的高,相交于F点,连接DE.
(1)求证:△CAB∽△CDE;
(2)若点D是BC的中点,CE=6,BE=8,则AB的长为 .
【解析】(1)∵AD,BE是△ABC的高,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∵∠C=∠C,∴△ACD∽△BCE,
∴=,即=,
又∵∠C=∠C,∴△CAB∽△CDE;
(2)∵点D是BC的中点,AD⊥BC,
∴AB=AC,
∵在Rt△BEC中,
CE=6,BE=8,
∴BC===10,
∴CD=BC=5,
∵△ACD∽△BCE,
∴=,
∴AD==,
∴AC===,
∴AB=AC=.
答案:
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力)如图,已知△ABC,∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC延长线于点P,Q.
(1)求∠PAQ的度数;
(2)若点M为PQ的中点,求证:PM2=CM·BM.
【解析】(1)∵AP平分∠BAC,
∴∠PAC=∠BAC.
又∵AQ平分∠CAD,∴∠CAQ=∠CAD.
∴∠PAC+∠CAQ=∠BAC+∠CAD=(∠BAC+∠CAD).
又∵∠BAC+∠CAD=180°,
∴∠PAC+∠CAQ=90°,即∠PAQ=90°.
(2)由(1)知∠PAQ=90°,
又∵M是线段PQ的中点,
∴PM=AM,∴∠APM=∠PAM.
∵∠APM=∠B+∠BAP,∠PAM=∠CAM+∠PAC,∠BAP=∠PAC,
∴∠B=∠CAM.
又∵∠AMC=∠BMA,
∴△ACM∽△BAM.
∴=,
∴AM2=CM·BM,即PM2=CM·BM.
