四 怎样判定三角形相似(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形相似的判定综合
1.如图,在下列四个条件:①∠B=∠C;②∠ADB=∠AEC;③AD∶AC=AE∶AB;④PE∶PD=PB∶PC中,能使△BPE∽△CPD的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(多选题)如图,在△ABC中,∠A=80°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (CD)
3.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 (B)
4.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,AC=3,BC=4,DF=6,DE=8,判定这两个三角形是否相似. 不相似 .(填“相似”或“不相似”)
5.(2024·深圳质检)如图,在△ADE和△ABC中,=,且∠EAC=∠DAB.求证:△EAC∽△DAB.
【证明】∵=,
∴=,
∵∠EAC=∠DAB,
∴△EAC∽△DAB.
6.如图,已知:AP2=AQ·AB,且∠ABP=∠C,试说明△QPB∽△PBC.
【解析】∵AP2=AQ·AB,∴=,
∵∠A=∠A,∴△APQ∽△ABP,
∴∠APB=∠AQP,∴∠BPC=∠BQP,
又∵∠ABP=∠C,∴△QPB∽△PBC.
知识点2 三角形相似判定与性质的应用
7.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,如果AD∶AB=2∶3,AE=4,CE=2,DE=3,那么BC的长是 .
8.如图,在△ABP中,C,D分别是AP,BP上的点.若CD=CP=4,DP=5,AC=3.5,BD=1.求AB的长.
【解析】∵CD=CP=4,DP=5,AC=3.5,BD=1,
∴AP=AC+CP=3.5+4=7.5,BP=BD+DP=1+5=6,
∴=,==,
∴=.
∵∠DPC=∠APB,
∴△ABP∽△DCP,
∴=,即=,
∴AB=6.
【B层 能力进阶】
9.如图,在三角形纸片ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是 (B)
10.(2024·济南期中)如图,在矩形ABCD中,点F是CD边上的一点,把矩形ABCD沿BF折叠,点C落在AD边上的点E处,AD=5,AB=4,点M是线段CF上的动点,连接BM,过点E作BM的垂线交BC于点N,垂足为H.以下结论:①△ABE∽△DEF;②=;③CF=2;④=,其中正确的有 (B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,AC=12 cm,点P从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,沿CA以1 cm/s的速度向点A移动,若点P,Q分别从点B,C同时出发,设运动时间为t s,当t= 4.8或 时,△CPQ与△CBA相似.
12.如图,在 ABCD中,点E在边AB上,DE2=AE·CD.
求证:AD·CD=CE·DE.
【证明】在 ABCD中,AB∥CD,
∴∠AED=∠CDE.
∵DE2=AE·CD,∴=,
∴△ADE∽△ECD,
∴=,
∴AD·CD=CE·DE.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、抽象能力、推理能力)(2023·鸡西中考)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连接DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连接FG,FH.易证:FH=FG.
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②;若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③.其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
【解析】如图②,FH=FG,
证明:连接AH,CE,AF,
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,F,H分别是DE,BC的中点,
∴AH⊥BC,AF⊥DE,AH=CH=BC,AF=EF=DE,
∴∠CAH=∠EAF=45°,
∴∠HAF=∠EAC,
∵在Rt△AHC中,由勾股定理得,
AC==AH,
同理可得,AE=AF,∴==,
∴△AHF∽△ACE,
∴==,
∴CE=FH,
∵点F,G分别是DE,DC的中点,
∴CE=2FG,
∴FH=FG;
如图③,FH=FG,
证明:连接AH,CE,AF,
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,
∴∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B=30°,
∵点F,H分别是DE,BC的中点,
∴AH⊥BC,AF⊥DE,∠CAH=∠EAF=×120°=60°,
∴∠HAF=∠EAC,==,
∴△AHF∽△ACE,
∴==,
∴CE=2FH,
∵点F,G分别是DE,DC的中点,
∴CE=2FG,∴FH=FG.四 怎样判定三角形相似(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形相似的判定综合
1.如图,在下列四个条件:①∠B=∠C;②∠ADB=∠AEC;③AD∶AC=AE∶AB;④PE∶PD=PB∶PC中,能使△BPE∽△CPD的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(多选题)如图,在△ABC中,∠A=80°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
3.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 ( )
4.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,AC=3,BC=4,DF=6,DE=8,判定这两个三角形是否相似. .(填“相似”或“不相似”)
5.(2024·深圳质检)如图,在△ADE和△ABC中,=,且∠EAC=∠DAB.求证:△EAC∽△DAB.
6.如图,已知:AP2=AQ·AB,且∠ABP=∠C,试说明△QPB∽△PBC.
知识点2 三角形相似判定与性质的应用
7.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,如果AD∶AB=2∶3,AE=4,CE=2,DE=3,那么BC的长是 .
8.如图,在△ABP中,C,D分别是AP,BP上的点.若CD=CP=4,DP=5,AC=3.5,BD=1.求AB的长.
【B层 能力进阶】
9.如图,在三角形纸片ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是 ( )
10.(2024·济南期中)如图,在矩形ABCD中,点F是CD边上的一点,把矩形ABCD沿BF折叠,点C落在AD边上的点E处,AD=5,AB=4,点M是线段CF上的动点,连接BM,过点E作BM的垂线交BC于点N,垂足为H.以下结论:①△ABE∽△DEF;②=;③CF=2;④=,其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,AC=12 cm,点P从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,沿CA以1 cm/s的速度向点A移动,若点P,Q分别从点B,C同时出发,设运动时间为t s,当t= 时,△CPQ与△CBA相似.
12.如图,在 ABCD中,点E在边AB上,DE2=AE·CD.
求证:AD·CD=CE·DE.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、抽象能力、推理能力)(2023·鸡西中考)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连接DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连接FG,FH.易证:FH=FG.
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②;若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③.其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
