五 怎样判定三角形相似(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用三边成比例判定两三角形相似
1.(2024·阳泉期末) 如图是老师画出的△ABC,已标出三边的长度,下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是 (C)
2.(2024·亳州质检)在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件:①=;②=;
③∠A=∠A';④∠C=∠C',下列组合不能判定△ABC∽△A'B'C'的是 (B)
A.①② B.①④ C.②④ D.③④
3.(多选题)已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为 (AC)
A.5+2 B.15
C.10+ D.15+3
4.如图,==,那么∠ABD与∠CBE相等吗 为什么
【解析】∠ABD=∠CBE.理由如下:
∵==,
∴△ABC∽△DBE,∴∠ABC=∠DBE,
∴∠ABD=∠CBE.
知识点2 相似三角形的应用
5.如图所示,某同学用如图方法测量教学楼AB的高度,在水平地面上放一面平面镜,镜子与教学楼的距离EA=21 m,当他与镜子的距离CE=2.5 m时,他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B,已知他眼睛距地面的高度为1.6 m,则教学楼AB的高度为 (A)
A.13.44 m B.32.812 5 m
C.84 m D.32.8 m
6.如图,某零件的外径为12 cm,用一个交叉卡钳(AC=BD)可测量零件的内孔直径AB.若OA∶OC=OB∶OD=2,且量得CD=5 cm,则零件的厚度x为 (C)
A.2 cm B.1.5 cm C.1 cm D.0.5 cm
7.如图,左右并排的两棵大树的高分别为AB=8米,CD=12米,两树底部的距离BD=5米,一个人估计自己眼睛距地面1.6米,她沿着正对这两棵的一条水平直路l从左向右前进,当她与左边较低的树距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端C了
【解析】设此人来到点E时,F,A,C恰好在一条直线上,过点F作FG⊥CD于点K,交AB于点H,
由题意得四边形EFHB,BHKD均为矩形,
∵EF=1.6米,AB=8米,CD=12米,BD=5米,
∴AH=6.4米,CK=10.4米,HK=5米,FH=EB.
∵AB∥CD,∴△FHA∽△FKC,
∴=,即=,解得FH=8,
∴EB=8米.
答:当她与左边较低的树距离小于8米时,就看不到右边较高的树的顶端C了.
【B层 能力进阶】
8.(2024·上海期中)如图,△PQR在边长为1个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形顶点位置,其中点A,B,C,D也是小正方形的顶点,那么与△PQR相似的是 (B)
A.以点P,Q,A为顶点的三角形
B.以点P,Q,B为顶点的三角形
C.以点P,Q,C为顶点的三角形
D.以点P,Q,D为顶点的三角形
9. 如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一儿童在C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来(CM⊥DM,BD⊥DM,BC与DM相交于点O),已知OM=4 m,CO=5 m,DO=3 m,AO= m,则汽车从A处前行的距离AB= 5.75 m时,才能发现C处的儿童.
10.如图,AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,且==.图中有哪几对相似三角形 把它们表示出来,并证明.
【解析】∵==,
∴△ABD∽△A'B'D',
∴∠B=∠B',∠BAD=∠B'A'D'.
∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,∴∠BAC=∠B'A'C'=2∠BAD,
∴△ABC∽△A'B'C',∴∠C=∠C'.
又∵∠CAD=∠C'A'D'=∠BAC,
∴△CAD∽△C'A'D'.
综上所述,题图中的相似三角形有3对:△ABD∽△A'B'D',△ABC∽△A'B'C',△CAD∽△C'A'D'.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力、应用意识)在学习了光的反射定律后,数学综合实践小组想利用光的反射定律(反射角等于入射角)测量池塘对岸一棵树的高度AB,测量步骤如下:
①如图,在地面上的点E处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小阳站在BE的延长线上,当小阳从平面镜中刚好看到树的顶端A时,测得小阳到平面镜的距离DE=2 m,小阳的眼睛点C到地面的距离CD=1.6 m;
②将平面镜从点E沿BE的延长线移动6 m放置到点H处,小阳从点D处移动到点G处,此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶端A,这时测得小阳到平面镜的距离GH=3.2 m.请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB.
【解析】由题意可知,∠CED=∠AEB,∠CDE=∠ABE,∠AHB=∠FHG,∠FGH=∠ABH,
∴△CDE∽△ABE,△FGH∽△ABH,
∴=,=,
∴=,==,
∴=,
解得BE=10,
∴AB=8,
答:树的高度AB为8 m.五 怎样判定三角形相似(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用三边成比例判定两三角形相似
1.(2024·阳泉期末) 如图是老师画出的△ABC,已标出三边的长度,下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是 ( )
2.(2024·亳州质检)在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件:①=;②=;
③∠A=∠A';④∠C=∠C',下列组合不能判定△ABC∽△A'B'C'的是 ( )
A.①② B.①④ C.②④ D.③④
3.(多选题)已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为 ( )
A.5+2 B.15
C.10+ D.15+3
4.如图,==,那么∠ABD与∠CBE相等吗 为什么
知识点2 相似三角形的应用
5.如图所示,某同学用如图方法测量教学楼AB的高度,在水平地面上放一面平面镜,镜子与教学楼的距离EA=21 m,当他与镜子的距离CE=2.5 m时,他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B,已知他眼睛距地面的高度为1.6 m,则教学楼AB的高度为 ( )
A.13.44 m B.32.812 5 m
C.84 m D.32.8 m
6.如图,某零件的外径为12 cm,用一个交叉卡钳(AC=BD)可测量零件的内孔直径AB.若OA∶OC=OB∶OD=2,且量得CD=5 cm,则零件的厚度x为 ( )
A.2 cm B.1.5 cm C.1 cm D.0.5 cm
7.如图,左右并排的两棵大树的高分别为AB=8米,CD=12米,两树底部的距离BD=5米,一个人估计自己眼睛距地面1.6米,她沿着正对这两棵的一条水平直路l从左向右前进,当她与左边较低的树距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端C了
【B层 能力进阶】
8.(2024·上海期中)如图,△PQR在边长为1个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形顶点位置,其中点A,B,C,D也是小正方形的顶点,那么与△PQR相似的是 ( )
A.以点P,Q,A为顶点的三角形
B.以点P,Q,B为顶点的三角形
C.以点P,Q,C为顶点的三角形
D.以点P,Q,D为顶点的三角形
9. 如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一儿童在C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来(CM⊥DM,BD⊥DM,BC与DM相交于点O),已知OM=4 m,CO=5 m,DO=3 m,AO= m,则汽车从A处前行的距离AB= 5.75 m时,才能发现C处的儿童.
10.如图,AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,且==.图中有哪几对相似三角形 把它们表示出来,并证明.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力、应用意识)在学习了光的反射定律后,数学综合实践小组想利用光的反射定律(反射角等于入射角)测量池塘对岸一棵树的高度AB,测量步骤如下:
①如图,在地面上的点E处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小阳站在BE的延长线上,当小阳从平面镜中刚好看到树的顶端A时,测得小阳到平面镜的距离DE=2 m,小阳的眼睛点C到地面的距离CD=1.6 m;
②将平面镜从点E沿BE的延长线移动6 m放置到点H处,小阳从点D处移动到点G处,此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶端A,这时测得小阳到平面镜的距离GH=3.2 m.请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB.
