六 相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形的性质解决线段问题
1.如图,已知点D,E分别是AB,AC边上的点,且△ADE∽△ABC,相似比为1∶3,AG⊥BC交DE于点F.则AF∶AG= ( )
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
2.已知△ABC∽△A'B'C',顶点A,B,C分别与顶点A',B',C'对应,AD,A'D'分别是BC,B'C'边上的中线,如果BC=3,AD=6,B'C'=2,那么A'D'的长是 .
3.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°.
求:(1)∠AED和∠ADE的度数;
(2)DE的长.
知识点2 利用相似三角形的性质求周长与面积
4.两个相似三角形的相似比是1∶2,若较小三角形的周长为6 cm,则较大三角形的周长为 ( )
A.7 cm B.8 cm
C.9 cm D.12 cm
5.(2024·龙岩质检) 如图,△ABC中,DE∥BC,BE与CD相交于点F.如果DF∶FC=1∶3,那么S△ADE∶S△ABC等于 ( )
A.1∶9 B.1∶3
C.2∶3 D.1∶8
6.如果两个相似三角形对应高的比是4∶3,那么它们的面积比是 .
7.在△ABC中,点D是AB上一点,且∠A=∠BCD,S△ADC∶S△BDC=5∶4,CD=4,求AC的长.
【B层 能力进阶】
8.(2024·西安质检)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C',B'恰好是BC的中点,△ABC与△A'B'C'重叠部分(即图中阴影部分)的面积与△ABC面积的比是 ( )
A.1∶2 B.3∶1 C.1∶4 D.2∶1
9.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形ABCD=40 cm2,S△ABE∶S△DBA=1∶5,则AE的长为 ( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
10. (2023·泰安中考)如图,在△ABC中,AC=BC=16,点D在AB上,点E在BC上,点B关于直线DE的轴对称点为点B',连接DB',EB',分别与AC相交于F点,G点,若AF=8,DF=7,B'F=4,则CG的长度为 .
11.(易错警示题·忽视分类讨论而漏解)如图,矩形ABDE中,AB=3 cm,BD=7 cm,点C在边ED上,且EC=1 cm,点P在边BD上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,求PD的长.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、运算能力、推理能力)从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点作一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,求∠ACB的度数.
(2)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底的等腰三角形,找出CD与BD的关系.六 相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形的性质解决线段问题
1.如图,已知点D,E分别是AB,AC边上的点,且△ADE∽△ABC,相似比为1∶3,AG⊥BC交DE于点F.则AF∶AG= (A)
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
2.已知△ABC∽△A'B'C',顶点A,B,C分别与顶点A',B',C'对应,AD,A'D'分别是BC,B'C'边上的中线,如果BC=3,AD=6,B'C'=2,那么A'D'的长是 4 .
3.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°.
求:(1)∠AED和∠ADE的度数;
(2)DE的长.
【解析】(1)∵∠BAC=45°,∠ACB=40°,
∴∠ABC=95°.
∵△ABC∽△ADE,∴∠AED=∠ACB=40°,∠ADE=∠ABC=95°.
(2)∵△ABC∽△ADE,
∴===.
又∵BC=70 cm,∴DE=43.75 cm.
知识点2 利用相似三角形的性质求周长与面积
4.两个相似三角形的相似比是1∶2,若较小三角形的周长为6 cm,则较大三角形的周长为 (D)
A.7 cm B.8 cm
C.9 cm D.12 cm
5.(2024·龙岩质检) 如图,△ABC中,DE∥BC,BE与CD相交于点F.如果DF∶FC=1∶3,那么S△ADE∶S△ABC等于 (A)
A.1∶9 B.1∶3
C.2∶3 D.1∶8
6.如果两个相似三角形对应高的比是4∶3,那么它们的面积比是 16∶9 .
7.在△ABC中,点D是AB上一点,且∠A=∠BCD,S△ADC∶S△BDC=5∶4,CD=4,求AC的长.
【解析】∵S△ADC∶S△BDC=5∶4,
∴S△BCD∶S△ABC=4∶9.
∵∠A=∠BCD,∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,
∴=()2=,
∴=,∴AC=6.
【B层 能力进阶】
8.(2024·西安质检)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C',B'恰好是BC的中点,△ABC与△A'B'C'重叠部分(即图中阴影部分)的面积与△ABC面积的比是 (C)
A.1∶2 B.3∶1 C.1∶4 D.2∶1
9.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形ABCD=40 cm2,S△ABE∶S△DBA=1∶5,则AE的长为 (D)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
10. (2023·泰安中考)如图,在△ABC中,AC=BC=16,点D在AB上,点E在BC上,点B关于直线DE的轴对称点为点B',连接DB',EB',分别与AC相交于F点,G点,若AF=8,DF=7,B'F=4,则CG的长度为 .
11.(易错警示题·忽视分类讨论而漏解)如图,矩形ABDE中,AB=3 cm,BD=7 cm,点C在边ED上,且EC=1 cm,点P在边BD上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,求PD的长.
【解析】∵四边形ABDE为矩形,AB=3 cm,BD=7 cm,EC=1 cm,
∴DC=DE-CE=BA-CE=2 cm.
设DP=x cm,则BP=(7-x) cm.
∵∠B=∠D=90°,∴存在两种情况.
①当△CDP∽△ABP时,=,
即=,∴x=;
②当△PDC∽△ABP时,=,
即=,
整理,得x2-7x+6=0,解得x1=1,x2=6.
∴当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,PD的长为 cm或1 cm或6 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、运算能力、推理能力)从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点作一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,求∠ACB的度数.
(2)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底的等腰三角形,找出CD与BD的关系.
【解析】(1)∵AD=CD,∴∠ACD=∠A=48°.
∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
(2)结论:CD=BD.
理由:∵△BCD∽△BAC,
∴=,∴==,∴CD=BD.
