2.1 锐角三角比
【A层 基础夯实】
知识点1 正弦与余弦
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=5,BC=12,那么sin B等于(C)
A. B. C. D.
2.(多选题)如图,∠ABC=∠BDA=90°,下列线段比值等于cos A的是(CD)
A. B.
C. D.
3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin∠BAC=,若将△ABC的三边都扩大3倍得到△A'B'C',则sin∠B'A'C'= .
4.在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则cos A的值是 .
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,AD=BC=5,cos∠ADC=,求sin B的值.
【解析】∵AD=BC=5,cos∠ADC=,
∴CD=3,
在Rt△ACD中,
∵AD=5,CD=3,
∴AC===4,
在Rt△ACB中,
∵AC=4,BC=5,
∴AB===,
∴sin B===.
知识点2 正切
6.(2024·茂名期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AB=10,则tan B=(B)
A. B. C. D.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且c=3a,则tan B的值为 2 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=,求tan A与tan B的值.
【解析】∵∠C=90°,
∴tan A===,tan B===.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的正弦、余弦、正切的值.
【解析】在Rt△BCD中,
∵CD=3,BD=5,
∴BC===4,
又AC=AD+CD=8,
∴AB===4,
则sin A===,
cos A===,
tan A===.
【B层 能力进阶】
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子正确的是(A)
A.sin A=
B.cos A=
C.tan A=
D.cos B=
11.如图,在2×3的正方形网格中,tan∠ACB的值为(D)
A. B. C. D.2
12.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A的坐标为(0,3),tan∠ABO=,则菱形ABCD的周长为(D)
A.6 B.6 C.12 D.8
13.若在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1)和点B(4,0),则sin∠ABO的值为 .
14.已知a,b,c是△ABC的三边,a,b,c满足等式b2=(c+a)(c-a),且5b-4c=0,求sin A+sin B的值.
【解析】∵b2=(c+a)(c-a),
∴b2=c2-a2,即a2+b2=c2,
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形,
∵5b-4c=0,∴=,
设b=4k,则c=5k,
∴在Rt△ABC中,a=3k,∴sin A+sin B=+=+=+=.
15.把含30°角的三角板ABC,绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE位置(如图所示),求sin∠ADE的值.
【解析】过点E作EF⊥AD且交AD于点F,
方法一:设BD=x,则AB=x,BE=x,AD=x;
DE===x,
在Rt△AEF中,AE=x-x=x;
易得EF=·AE=x;
则AF=EF=x,
在Rt△DEF中,
根据锐角三角比的定义可得:sin∠ADE==;
方法二:设BC=BE=x,
∵∠EDB=∠BAC=30°,
∴DE=AC=2x,AB=BD=x,
∴AE=(-1)x,
又∵AB=BD,∴∠FAE=45°,
∴AE=EF,即(-1)x=EF,
∴EF=x,∴sin∠ADE==,
答:sin∠ADE的值为.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、推理能力)在△ABC中,∠B,∠C均为锐角,其对边分别为b,c,求证:=.
【证明】过A作AD⊥BC于D,
在Rt△ABD中,sin B=,
∴AD=ABsin B,
在Rt△ADC中,sin C=,
∴AD=ACsin C,
∴ABsin B=ACsin C,
而AB=c,AC=b,
∴csin B=bsin C,
∴=.2.1 锐角三角比
【A层 基础夯实】
知识点1 正弦与余弦
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=5,BC=12,那么sin B等于( )
A. B. C. D.
2.(多选题)如图,∠ABC=∠BDA=90°,下列线段比值等于cos A的是( )
A. B.
C. D.
3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin∠BAC=,若将△ABC的三边都扩大3倍得到△A'B'C',则sin∠B'A'C'= .
4.在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则cos A的值是.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,AD=BC=5,cos∠ADC=,求sin B的值.
知识点2 正切
6.(2024·茂名期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AB=10,则tan B=( )
A. B. C. D.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且c=3a,则tan B的值为 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=,求tan A与tan B的值.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的正弦、余弦、正切的值.
【B层 能力进阶】
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子正确的是( )
A.sin A=
B.cos A=
C.tan A=
D.cos B=
11.如图,在2×3的正方形网格中,tan∠ACB的值为( )
A. B. C. D.2
12.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A的坐标为(0,3),tan∠ABO=,则菱形ABCD的周长为( )
A.6 B.6 C.12 D.8
13.若在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1)和点B(4,0),则sin∠ABO的值为 .
14.已知a,b,c是△ABC的三边,a,b,c满足等式b2=(c+a)(c-a),且5b-4c=0,求sin A+sin B的值.
15.把含30°角的三角板ABC,绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE位置(如图所示),求sin∠ADE的值.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、推理能力)在△ABC中,∠B,∠C均为锐角,其对边分别为b,c,求证:=.
