十一 解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形
1.学习解直角三角形时,小明编了这样一道题:
已知:在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,解这个直角三角形.
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤:
①由∠B的度数,根据直角三角形的性质得到∠A的度数;
②由AC,BC的值,根据∠B的正切值得到∠B的度数;
③由AC,BC的值,根据勾股定理得到AB的值;
④由BC,AB的值,根据∠B的余弦值得到∠B的度数.
请你从中选择三个步骤并排序,形成完整的解上述直角三角形的思路,则下列排序错误的是( )
A.③④① B.④①③
C.②①③ D.③②①
2.(多选题)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=7,∠B=35°,则BC的长为(AC)
A.7sin 55° B.
C.7cos 35° D.7tan 35°
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为 .
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件,解这个直角三角形
(1)∠A=30°,b=;
(2)c=4,b=2.
5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点B在x轴负半轴上,且tan∠ABO=.
求AB的长及∠BAO的正弦值.
知识点2 解非直角三角形
6.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB=10.则BC,AC的长为( )
A.5+5,5 B.+5,5
C.5+5,5 D.5,5
7.(2024·苏州期末)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C都在格点上,则tan∠ACB的值是 .
8.如图,在△ABC中,BC=6,tan A=,∠B=30°,求AC和AB的长.
【B层 能力进阶】
9.等腰三角形的一腰长为6 cm,底边长为6 cm,则其底角为( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
10.已知点A(1,4),B(-2,0),那么直线AB与x轴夹角的正弦值是 .
11.如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm(结果精确到0.1 cm,参考数据sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
tan 37°≈0.75).
12.如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,求tan∠EDF.
13.问题呈现:如图1,在边长为1的正方形网格中,连接DN和EC相交于点P,求cos∠CPN的值.
方法归纳:求一个锐角的三角比,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中,
问题解决:
(1)求出图1中cos∠CPN的值;
(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求tan∠CPN的值.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力)探究:已知如图1,在△ABC中,∠A=α(0°<α<90°),
AB=c,AC=b,试用含b,c,α的式子表示△ABC的面积;
应用:如图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b,试用含b,a,α的式子表示平行四边形ABCD的面积.2.4 解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形
1.学习解直角三角形时,小明编了这样一道题:
已知:在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,解这个直角三角形.
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤:
①由∠B的度数,根据直角三角形的性质得到∠A的度数;
②由AC,BC的值,根据∠B的正切值得到∠B的度数;
③由AC,BC的值,根据勾股定理得到AB的值;
④由BC,AB的值,根据∠B的余弦值得到∠B的度数.
请你从中选择三个步骤并排序,形成完整的解上述直角三角形的思路,则下列排序错误的是(B)
A.③④① B.④①③
C.②①③ D.③②①
2.(多选题)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=7,∠B=35°,则BC的长为(AC)
A.7sin 55° B.
C.7cos 35° D.7tan 35°
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为 24 .
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件,解这个直角三角形
(1)∠A=30°,b=;
(2)c=4,b=2.
【解析】(1)∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
∵tan A=,∴a=b·tan A=×=1.
∴c=2a=2.
(2)由勾股定理得:a===2.∵b=2,a=2,∠C=90°,
∴∠A=∠B=45°.
5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点B在x轴负半轴上,且tan∠ABO=.
求AB的长及∠BAO的正弦值.
【解析】∵点A(0,4),∴OA=4,在Rt△OAB中,tan∠ABO==,∴OB=OA=6,
由勾股定理得,AB==2,
∴sin∠BAO===.
知识点2 解非直角三角形
6.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB=10.则BC,AC的长为(A)
A.5+5,5 B.+5,5
C.5+5,5 D.5,5
7.(2024·苏州期末)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C都在格点上,则tan∠ACB的值是 .
8.如图,在△ABC中,BC=6,tan A=,∠B=30°,求AC和AB的长.
【解析】如图,过点C作CD⊥AB于点D,
在Rt△BCD中,sin B=sin 30°==,
∴CD=×6=3,BD===3.
在Rt△ACD中,tan A==,∴AD=CD=4,
∴AC===5,
∴AB=AD+BD=4+3.
【B层 能力进阶】
9.等腰三角形的一腰长为6 cm,底边长为6 cm,则其底角为(D)
A.120° B.90° C.60° D.30°
10.已知点A(1,4),B(-2,0),那么直线AB与x轴夹角的正弦值是 .
11.如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 2.7 cm(结果精确到0.1 cm,参考数据sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
tan 37°≈0.75).
12.如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,求tan∠EDF.
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=90°,CD=AB,AD=BC,
由折叠的性质得,AD=DF=BC,∠DFE=∠A=90°,∴∠BEF+∠BFE=∠DFC+
∠BFE=90°,∴∠BEF=∠DFC,∴△BEF∽△CFD,
∴=,
∵CD=3BF,∴=,∴tan∠EDF=.
13.问题呈现:如图1,在边长为1的正方形网格中,连接DN和EC相交于点P,求cos∠CPN的值.
方法归纳:求一个锐角的三角比,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中,
问题解决:
(1)求出图1中cos∠CPN的值;
(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求tan∠CPN的值.
【解析】(1)∵EC∥MN,∴∠CPN=∠DNM,
∴cos∠CPN=cos∠DNM,∵∠DMN=90°,MN==,DN==,
∴cos∠CPN=cos∠DNM===;
(2)如图中,取格点D,连接CD,DM,如图所示:
∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM,
∵CM==,DM==,CD==,∴CM=DM,
∵CM2+DM2=5+5=10=CD2,∴△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=∠CDM=45°,
∴tan∠CPN=tan∠DCM=tan 45°=1.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力)探究:已知如图1,在△ABC中,∠A=α(0°<α<90°),
AB=c,AC=b,试用含b,c,α的式子表示△ABC的面积;
应用:如图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b,试用含b,a,α的式子表示平行四边形ABCD的面积.
【解析】探究:过点B作BD⊥AC,垂足为D.
∵AB=c,∠A=α,∴BD=csin α.
∴S△ABC=AC·BD=bcsin α.
应用:过点C作CE⊥DO于点E.
∴sin α=,∴EC=COsin α,
∵在平行四边形ABCD中,AC=a,BD=b,
∴CO=a,DO=b.
∴S△COD=DO·CE=DO·COsin α=absin α.
∴S△BCD=CE·BD=×asin α·b=absin α.
∴S平行四边形ABCD=2S△BCD=absin α.
