2.5 解直角三角形的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形的简单应用
1.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层,会考虑使用“飞梯”(可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).某商场的“飞梯”从3层直达7层,“飞梯”的截面如图,AB的长为50米,AB与AC的夹角为24°,则高BC是( )
A.50sin 24°米 B.50cos 24°米
C.米 D.米
2.如图钓鱼竿AC长8 m,露在水面上的鱼线BC长4 m,钓鱼者想看看鱼钓上的情况,把钓鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是 .
知识点2 仰角、俯角问题
3.(2024·北京期末)如图,一枚运载火箭从地面L处发射,雷达站R与发射点L之间的距离为6千米,当火箭到达A点时,雷达站测得仰角为α,则这枚火箭此时的高度AL为( )
A.6sin α千米 B.6cos α千米
C.6tan α千米 D.千米
4.如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D点测得标志物的仰角为32°,若点D到电线杆底部点B的距离为a米,则电线杆AB的长可表示为( )
A.米 B.米
C.2a·tan 32°米 D.2a·cos 32°米
5.如图,在小山的东侧点A处有一个热气球,由于受西风的影响,以30 m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,20 min后到达点C处,此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为 600 m.
6.2024年2月3日11时06分,我国太原卫星发射中心在广东阳江附近海域使用捷龙三号运载火箭,成功将9颗卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功.如图,运载火箭海面发射站点M与岸边雷达站N处在同一水平高度.当火箭到达点A处时,测得点A距离发射站点M的垂直高度为9千米,岸边雷达站N测得A处的仰角为37°,火箭继续垂直上升到达点B处,此时岸边雷达站N测得B处的仰角为70°,根据下面提供的参考数据计算下列问题:
(1)求火箭海面发射站点M与岸边雷达站N的距离;
(2)求火箭在点B处时距发射站点M处的高度.
(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.80,tan 37°
≈0.75)
【B层 能力进阶】
7.(多选题)数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A,B的距离,他们设计了如图的测量方案:从树A沿着垂直于AB的方向走到E,再从E沿着垂直于AE的方向走到F,C为AE上一点,其中4位同学分别测得四组数据,其中能根据所测数据求出A,B两树距离的有 )
A.AC,∠ACB B.EF,DE,∠F
C.CD,∠ACB,∠ADB D.∠F,∠ADB,FB
8.如图,某活动小组利用无人机航拍校园,已知无人机的飞行速度为4 m/s,从A处沿水平方向飞行至B处需10 s,若在地面C处测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°,则这架无人机的飞行高度大约是 .(结果精确到1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)
9.已知图1是某超市购物车,图2是超市购物车的侧面示意图,现已测得支架AC=72 cm,BC=54 cm,两轮轮轴的距离AB=90 cm(购物车车轮半径忽略不计),DG,EH均与地面平行.(参考数据:≈1.732)
(1)猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由;
(2)若FG的长度为80 cm,∠EHG=60°,求购物车把手F到AB的距离.(结果精确到0.1)
【C层 创新挑战(选做)】
10.(模型观念、推理能力、应用意识)(2023·烟台中考)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机,如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米,在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°,利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°,求该风力发电机塔杆PD的高度.(参考数据:sin 18°≈0.309,cos 18°≈0.951,tan 18°≈0.325)2.5 解直角三角形的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 方向角问题
1.如图,OA=3,OB=2,AB=,点A在点O的北偏西40°方向,则点B在点O的( )
A.北偏东40°方向 B.北偏东50°方向
C.东偏北60°方向 D.东偏北70°方向
2.(多选题)在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A地出发,要到距离A地10千米的C地去,先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地,然后再从B地走了6千米到达目的地C.此时小霞在B地的(AB)
A.南偏东20°方向 B.北偏西20°方向
C.南偏西30°方向 D.北偏西30°方向
3.如图,一艘轮船在海面上由南向北航行,当该轮船行驶到B处时,发现灯塔C在它的北偏东34°方向上,轮船继续向北航行,30分钟后到达A处,此时发现灯塔C在它的北偏东45°方向上,已知轮船航行的速度是每小时40海里.求此时轮船与灯塔C的距离AC.(结果保留根号,参考数据:tan 34°≈)
知识点2 坡度、坡角问题
4.如图,在坡度i=1∶3的斜坡上栽两棵树,它们之间的株距(相邻两棵树间的水平距离)为9 m,则这两棵树之间的坡面距离为( )
A.2m B.9 m C.3m D.10 m
5.如图,某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高AB为6 m,∠ACB为45°,改造后扶梯AD的坡比是1∶2,则改造后扶梯AD相比改造前AC增加 m.
6.某长500米的水库大坝的横截面是四边形ABCD,坝顶CD与坝底BA平行,已知坝高24米,背水坡AD的坡度i=1∶0.5.为提高大坝防洪能力,现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固,加固后坝顶加宽6米(即DF=6米),∠AEF=60°.(参考数据:≈1.732)
(1)求坝底加宽的宽度AE;(保留根号)
(2)据相关部门统计,现有填筑土石方83 130立方米,请问是否足够加固大坝所需
【B层 能力进阶】
7.某校也开展了丰富多彩的冰雪活动.如图是该校同学参加的冰雪项目,小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行,若滑行距离AB=60米,斜坡滑雪道与水平面的夹角为20°,则他下降的高度为( )
A.60tan 20°米 B.60sin 20°米
C.米 D.米
8.某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目,项目有两条斜坡滑道以满足不同的难度需求,游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度为i=5∶12,BC=13米,CD=16米,∠D=32°(其中点A,B,C,D均在同一平面内),则垂直升降电梯AB的高度约为 米.(参考数据:sin 32°≈0.530,
cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625)
9.如图,某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行,在A处测得岛C在东北方向,20分钟后渔船航行到B处,测得岛C在北偏东30°方向,已知岛C周围25海里内有暗礁.(参考数据:≈1.732,≈1.414,sin 75°≈0.966,cos 75°≈0.259)
(1)如果渔船继续向东航行,有无触礁危险 请说明理由.
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行,有无触礁危险 请说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
10. (模型观念、推理能力、应用意识)小明从家A步行前往公园E,已知点E在点A的正东方向,但是由于AE道路施工,小明先沿正北方向走了400米到达B处,再从B处沿北偏东60°方向行走400米到达C处,从C处沿正东方向走了300米到达D处,在D处休息了6分钟,最终沿D-E方向到达E处,已知点E在点D的南偏东45°方向.小明从家出发的同时,爷爷从家选择另一路线A-F-E步行前往E处,已知点F在点A的南偏东60°方向,且点F在点E的正南方向.(参考数据:≈1.414,≈1.732)
(1)求AE的长度(结果精确到1米);
(2)已知小明步行速度为80米/分钟,爷爷步行速度为70米/分钟,小明和爷爷始终保持匀速行驶,请计算说明小明和爷爷谁先到达公园.2.5 解直角三角形的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形的简单应用
1.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层,会考虑使用“飞梯”(可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).某商场的“飞梯”从3层直达7层,“飞梯”的截面如图,AB的长为50米,AB与AC的夹角为24°,则高BC是(A)
A.50sin 24°米 B.50cos 24°米
C.米 D.米
2.如图钓鱼竿AC长8 m,露在水面上的鱼线BC长4 m,钓鱼者想看看鱼钓上的情况,把钓鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是 4 m .
知识点2 仰角、俯角问题
3.(2024·北京期末)如图,一枚运载火箭从地面L处发射,雷达站R与发射点L之间的距离为6千米,当火箭到达A点时,雷达站测得仰角为α,则这枚火箭此时的高度AL为(C)
A.6sin α千米 B.6cos α千米
C.6tan α千米 D.千米
4.如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D点测得标志物的仰角为32°,若点D到电线杆底部点B的距离为a米,则电线杆AB的长可表示为(C)
A.米 B.米
C.2a·tan 32°米 D.2a·cos 32°米
5.如图,在小山的东侧点A处有一个热气球,由于受西风的影响,以30 m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,20 min后到达点C处,此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为 600 m.
6.2024年2月3日11时06分,我国太原卫星发射中心在广东阳江附近海域使用捷龙三号运载火箭,成功将9颗卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功.如图,运载火箭海面发射站点M与岸边雷达站N处在同一水平高度.当火箭到达点A处时,测得点A距离发射站点M的垂直高度为9千米,岸边雷达站N测得A处的仰角为37°,火箭继续垂直上升到达点B处,此时岸边雷达站N测得B处的仰角为70°,根据下面提供的参考数据计算下列问题:
(1)求火箭海面发射站点M与岸边雷达站N的距离;
(2)求火箭在点B处时距发射站点M处的高度.
(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.80,tan 37°
≈0.75)
【解析】(1)∵在Rt△AMN中,AM=9千米,∠ANM=37°,
∴MN=≈=12(千米).
答:火箭海面发射站点M与岸边雷达站N的距离为12千米;
(2)∵在Rt△BMN中,∠BNM=70°,
∴tan∠BNM=tan 70°=,
∴BM=MN·tan 70°=12·tan 70°≈12×2.75=33(千米).
答:火箭在点B处时距发射站点M处的高度为33千米.
【B层 能力进阶】
7.(多选题)数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A,B的距离,他们设计了如图的测量方案:从树A沿着垂直于AB的方向走到E,再从E沿着垂直于AE的方向走到F,C为AE上一点,其中4位同学分别测得四组数据,其中能根据所测数据求出A,B两树距离的有(AC)
A.AC,∠ACB B.EF,DE,∠F
C.CD,∠ACB,∠ADB D.∠F,∠ADB,FB
8.如图,某活动小组利用无人机航拍校园,已知无人机的飞行速度为4 m/s,从A处沿水平方向飞行至B处需10 s,若在地面C处测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°,则这架无人机的飞行高度大约是 27 m .(结果精确到1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)
9.已知图1是某超市购物车,图2是超市购物车的侧面示意图,现已测得支架AC=72 cm,BC=54 cm,两轮轮轴的距离AB=90 cm(购物车车轮半径忽略不计),DG,EH均与地面平行.(参考数据:≈1.732)
(1)猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由;
(2)若FG的长度为80 cm,∠EHG=60°,求购物车把手F到AB的距离.(结果精确到0.1)
【解析】(1)AC⊥BC,理由如下:
∵AC=72 cm,BC=54 cm,AB=90 cm,
∴AC2+BC2=722+542=8 100,AB2=8 100,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC;
(2)过F作FN⊥AB交AB延长线于N,过C作CM⊥AB于M,延长DG交FN于K,
∵EH∥DG∥AB,∴GK⊥FN,
∴四边形MNKC是矩形,∴NK=CM,
∵S△ABC=AB·CM=AC·BC,
∴90CM=72×54,∴CM=43.2 cm,∴NK=CM=43.2 cm,
∵EH∥DG,∴∠FGK=∠EHG=60°,
∴sin∠FGK=sin 60°==,
∵FG=80 cm,∴FK=40≈69.28(cm),
∴FN=FK+NK=69.28+43.2≈112.5(cm).
∴购物车把手F到AB的距离约是112.5 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
10.(模型观念、推理能力、应用意识)(2023·烟台中考)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机,如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米,在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°,利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°,求该风力发电机塔杆PD的高度.(参考数据:sin 18°≈0.309,cos 18°≈0.951,tan 18°≈0.325)
【解析】延长PD交AC于点F,延长DP交BE于点G,
由题意得:PF⊥AF,DG⊥BE,AB=FG=53米,AF=BG,设AF=BG=x米,
在Rt△CDF中,∠DCF=30°,CD=16米,
∴DF=CD=8米,
在Rt△PAF中,∠PAF=45°,
∴PF=AF·tan 45°=x米,
在Rt△BPG中,∠GBP=18°,
∴GP=BG·tan 18°≈0.325x(米),
∴FG=PF+PG=x+0.325x=1.325x(米),
∴1.325x=53,解得x=40,∴PF=40米,
∴PD=PF-DF=40-8=32(米),
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米.2.5 解直角三角形的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 方向角问题
1.如图,OA=3,OB=2,AB=,点A在点O的北偏西40°方向,则点B在点O的(B)
A.北偏东40°方向 B.北偏东50°方向
C.东偏北60°方向 D.东偏北70°方向
2.(多选题)在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A地出发,要到距离A地10千米的C地去,先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地,然后再从B地走了6千米到达目的地C.此时小霞在B地的(AB)
A.南偏东20°方向 B.北偏西20°方向
C.南偏西30°方向 D.北偏西30°方向
3.如图,一艘轮船在海面上由南向北航行,当该轮船行驶到B处时,发现灯塔C在它的北偏东34°方向上,轮船继续向北航行,30分钟后到达A处,此时发现灯塔C在它的北偏东45°方向上,已知轮船航行的速度是每小时40海里.求此时轮船与灯塔C的距离AC.(结果保留根号,参考数据:tan 34°≈)
【解析】如图,过点C作CE⊥BD于点E.
由题意知,AB=×40=20(海里),
在Rt△ACE中,∠CAE=45°,∴AE=CE,
设AE=CE=x,则AC==x,
在Rt△BCE中,tan 34°=,即CE=BE·tan 34°,∴x=(x+20),
解得x=40,∴AC=x=40(海里),
答:此时轮船与灯塔C的距离AC为40海里.
知识点2 坡度、坡角问题
4.如图,在坡度i=1∶3的斜坡上栽两棵树,它们之间的株距(相邻两棵树间的水平距离)为9 m,则这两棵树之间的坡面距离为(C)
A.2m B.9 m C.3m D.10 m
5.如图,某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高AB为6 m,∠ACB为45°,改造后扶梯AD的坡比是1∶2,则改造后扶梯AD相比改造前AC增加 (6-6) m.
6.某长500米的水库大坝的横截面是四边形ABCD,坝顶CD与坝底BA平行,已知坝高24米,背水坡AD的坡度i=1∶0.5.为提高大坝防洪能力,现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固,加固后坝顶加宽6米(即DF=6米),∠AEF=60°.(参考数据:≈1.732)
(1)求坝底加宽的宽度AE;(保留根号)
(2)据相关部门统计,现有填筑土石方83 130立方米,请问是否足够加固大坝所需
【解析】(1)如图,过点F作FG⊥AB于点G,作FH∥AD交AE于点H,
则四边形DAHF为平行四边形,
∴AH=DF=6米,坡FH的坡度i=1∶0.5,
∵FG=24米,∴GH=12米,
在Rt△FGE中,∠AEF=60°,FG=24米,
则GE===8(米),
∴HE=GE-GH=(8-12)米,
∴AE=AH+HE=(8-6)米;
(2)S梯形DAEF=(6+8-6)×24=96(平方米),
∴需要的填筑土石方为96×500≈83 136(立方米),
∵83 136>83 130,∴不够加固大坝所需.
【B层 能力进阶】
7.某校也开展了丰富多彩的冰雪活动.如图是该校同学参加的冰雪项目,小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行,若滑行距离AB=60米,斜坡滑雪道与水平面的夹角为20°,则他下降的高度为(B)
A.60tan 20°米 B.60sin 20°米
C.米 D.米
8.某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目,项目有两条斜坡滑道以满足不同的难度需求,游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度为i=5∶12,BC=13米,CD=16米,∠D=32°(其中点A,B,C,D均在同一平面内),则垂直升降电梯AB的高度约为 12.5 米.(参考数据:sin 32°≈0.530,
cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625)
9.如图,某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行,在A处测得岛C在东北方向,20分钟后渔船航行到B处,测得岛C在北偏东30°方向,已知岛C周围25海里内有暗礁.(参考数据:≈1.732,≈1.414,sin 75°≈0.966,cos 75°≈0.259)
(1)如果渔船继续向东航行,有无触礁危险 请说明理由.
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行,有无触礁危险 请说明理由.
【解析】(1)如果渔船继续向东航行,有触礁危险,
理由:过点C作CD⊥AB,垂足为D,
由题意得:∠CAD=45°,∠CBD=90°-30°=60°,AB=30×=10(海里),
设BD=x海里,∴AD=AB+BD=(10+x)海里,
在Rt△BDC中,CD=BD·tan 60°=x(海里),
在Rt△ACD中,CD=AD·tan 45°=(10+x)海里,
∴x=10+x,解得x=5+5,
∴CD=x=15+5≈23.66(海里),
∵23.66海里<25海里,
∴如果渔船继续向东航行,有触礁危险;
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行,无触礁危险,
理由:过点C作CE⊥BF,垂足为E,
由题意得:∠CBE=∠CBD+15°=75°,
在Rt△BCD中,∠CBD=60°,BD=(5+5)海里,
∴BC===(10+10)海里,
在Rt△CBE中,CE=BC·sin 75°≈(10+10)×0.966≈26.4(海里),
∵26.4海里>25海里,
∴如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行,无触礁危险.
【C层 创新挑战(选做)】
10. (模型观念、推理能力、应用意识)小明从家A步行前往公园E,已知点E在点A的正东方向,但是由于AE道路施工,小明先沿正北方向走了400米到达B处,再从B处沿北偏东60°方向行走400米到达C处,从C处沿正东方向走了300米到达D处,在D处休息了6分钟,最终沿D-E方向到达E处,已知点E在点D的南偏东45°方向.小明从家出发的同时,爷爷从家选择另一路线A-F-E步行前往E处,已知点F在点A的南偏东60°方向,且点F在点E的正南方向.(参考数据:≈1.414,≈1.732)
(1)求AE的长度(结果精确到1米);
(2)已知小明步行速度为80米/分钟,爷爷步行速度为70米/分钟,小明和爷爷始终保持匀速行驶,请计算说明小明和爷爷谁先到达公园.
【解析】(1)延长AB,DC交于点P,作CM⊥AE于点M,DN⊥AE于点N,如图,由题意可知,AB=BC=400米,CD=MN=300米,∠PBC=60°,∠FAE=90°-60°=30°,
∠NDE=45°,
在Rt△PBC中,BC=400米,∠PBC=60°,
∴PB=BC=200(米),PC=BC=200(米),
∴AP=CM=DN=400+200=600(米),
在Rt△DEN中,∠NDE=45°,∴DN=NE=600米,∴AE=AM+MN+NE=200+
300+600=200+900≈1 246(米),
答:AE的长度约为1 246米;
(2)在Rt△DEN中,∠NDE=45°,DN=NE=600米,
∴DE=DN=600(米),
在Rt△AEF中,∠EAF=30°,AE=(200+900)米,
∴EF=AE=(200+300)米,AF=2EF=(400+600)米,
所以小明所走的总路程为AB+BC+CD+DE=400+400+300+600≈1 948.4(米),所用的时间为1 948.4÷80+6≈30.4(分钟),爷爷所走的总路程为AF+EF=600+900≈2 158.8(米),所用的时间为2 158.8÷70=30.84(分钟),
由于30.4<30.84,所以小明先到公园.
