3.1 圆的对称性(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 垂径定理及其推论
1.如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论不一定成立的是 ( )
A.CE=DE B.AE=OE
C.= D.△OCE≌△ODE
2.已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP= ( )
A. B.4 C. D.5
3.(2024·合肥质检)如图,AB为☉O的直径,CD为☉O的弦,CD⊥AB,垂足为E,OE=3,CD=8,AB= .
4.如图,AB是☉O的弦,C,D为直线AB上两点,OC=OD,求证:AC=BD.
知识点2 垂径定理的应用
5.(情境问题)如图,武汉晴川桥可以近似地看作半径为250 m的圆弧,桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面AB的长度为300 m,那么这些钢索中最长的一根为 ( )
A.50 m B.45 m C.40 m D.60 m
6.(2024·菏泽模拟)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C是的中点,CD⊥AB且CD=10 m,则这段弯路所在圆的半径为 .
7.如图,是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果M是☉O中弦CD的中点,EM经过圆心O交圆弧于点E,并且CD=4 m,EM=6 m,求☉O的半径.
【B层 能力进阶】
8.(2023·包头中考)如图,锐角三角形ABC的顶点均在☉O上,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为 ( )
A.8 B.4 C.3.5 D.3
9.(教材再开发·P70练习T2变式)如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
10.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)已知圆中两条平行的弦之间距离为1,其中一弦长为8,若半径为5,则另一弦长为 .
11.(2024·聊城期末)某地有一座弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗
【C层 创新挑战(选做)】
12.(抽象能力、模型观念、推理能力)综合与实践
问题情境:我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法,如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi)范、芯组成的铸型(如图1),它的端面是圆形.如图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法:将“矩”的直角尖端A沿圆周移动,直到AB=AC,在圆上标记A,B,C三点;将“矩”向右旋转,使它左侧边落在A,B点上,“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点,这样就用“矩”确定了圆上等距离的A,B,C,D四点,连接AD,BC相交于点O,即O为圆心.
问题解决:(1)请你根据“问题情境”中提供的方法,用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图3,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,且AB=AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
类比迁移:(2)小梅受此问题的启发,在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现,如果AB和AC不相等,用三角板也可以确定圆心O.如图4,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
拓展探究:(3)小梅进一步研究,发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差,用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点A,B,C是☉O上任意三点,请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)请写出你确定圆心的理由: . 3.1 圆的对称性(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 垂径定理及其推论
1.如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论不一定成立的是 (B)
A.CE=DE B.AE=OE
C.= D.△OCE≌△ODE
2.已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP= (D)
A. B.4 C. D.5
3.(2024·合肥质检)如图,AB为☉O的直径,CD为☉O的弦,CD⊥AB,垂足为E,OE=3,CD=8,AB= 10 .
4.如图,AB是☉O的弦,C,D为直线AB上两点,OC=OD,求证:AC=BD.
【证明】作OH⊥AB于H,如图,
则AH=BH.∵OC=OD,OH⊥AB,
∴CH=DH,∴CH-AH=DH-BH,即AC=BD.
知识点2 垂径定理的应用
5.(情境问题)如图,武汉晴川桥可以近似地看作半径为250 m的圆弧,桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面AB的长度为300 m,那么这些钢索中最长的一根为 (A)
A.50 m B.45 m C.40 m D.60 m
6.(2024·菏泽模拟)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C是的中点,CD⊥AB且CD=10 m,则这段弯路所在圆的半径为 25 m .
7.如图,是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果M是☉O中弦CD的中点,EM经过圆心O交圆弧于点E,并且CD=4 m,EM=6 m,求☉O的半径.
【解析】连接CO,∵M是弦CD的中点,且EM经过圆心O,∴EM⊥CD,
且CM=CD=×4=2(m).在Rt△OCM中,∵☉O的半径为r m,OM2+CM2=OC2,
∴OM==(m).∵EM=6 m,∴OM=(6-r)m,∴=6-r,∴r2-4=(6-r)2,整理得12r=40,解得r=.即☉O的半径为 m.
【B层 能力进阶】
8.(2023·包头中考)如图,锐角三角形ABC的顶点均在☉O上,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为 (B)
A.8 B.4 C.3.5 D.3
9.(教材再开发·P70练习T2变式)如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为 7.5 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
10.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)已知圆中两条平行的弦之间距离为1,其中一弦长为8,若半径为5,则另一弦长为 6或2 .
11.(2024·聊城期末)某地有一座弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗
【解析】如图,设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O,连接OA,OB,作OD⊥AB于点D,交于点C,交MN于点H,由垂径定理可知,D为AB的中点.
设OA=r米,则OD=OC-DC=(r-2.4)米,AD=AB=3.6米.
在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即r2=3.62+(r-2.4)2,解得r=3.9.
在Rt△OHN中,OH===3.6(米),
所以FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1(米).
因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(抽象能力、模型观念、推理能力)综合与实践
问题情境:我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法,如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi)范、芯组成的铸型(如图1),它的端面是圆形.如图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法:将“矩”的直角尖端A沿圆周移动,直到AB=AC,在圆上标记A,B,C三点;将“矩”向右旋转,使它左侧边落在A,B点上,“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点,这样就用“矩”确定了圆上等距离的A,B,C,D四点,连接AD,BC相交于点O,即O为圆心.
问题解决:(1)请你根据“问题情境”中提供的方法,用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图3,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,且AB=AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
类比迁移:(2)小梅受此问题的启发,在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现,如果AB和AC不相等,用三角板也可以确定圆心O.如图4,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
拓展探究:(3)小梅进一步研究,发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差,用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点A,B,C是☉O上任意三点,请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)请写出你确定圆心的理由: .
【解析】问题解决:
(1)如图:
O即为所求作的圆心;
类比迁移:
(2)如图:
O即为所求作的圆心;
拓展探究:
(3)如图:
O即为所求作的圆心,理由是垂直平分弦(不是直径)的直线经过圆心.
答案:垂直平分弦(不是直径)的直线经过圆心
