十五 圆的对称性(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆的中心对称性及认识圆心角
1.下列命题中,正确的是 ( )
①顶点在圆心的角是圆心角;②相等的圆心角,所对的弧也相等;③两条弦相等,它们所对的弧也相等;④圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2.将一个圆分成四个扇形,使它们的圆心角的度数比为1∶2∶3∶4,则这四个扇形中最大的圆心角是 ( )
A.90° B.144° C.180° D.210°
3.如图的齿轮有30个齿,每两齿之间的间隔相等,则相邻两齿间的圆心角α等于 °.
4.(2024·潍坊模拟)如图,当圆中扇子对应的圆心角α(α<180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时,扇子会显得更加美观,若黄金比取0.6,则β-α的度数是 .
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
5.如图,在☉O中,AB,CD是两条弦,OM⊥CD,ON⊥AB,如果AB=CD,则下列结论不正确的是( )
A.∠AON=∠DOM B.AN=DM
C.OM=DM D.OM=ON
6.如图所示,在☉O中=,∠A=30°,则∠B= ( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
7.(2024·菏泽期末)如图,点A,B,C都在☉O上,B是的中点,∠OBC=50°,则∠AOB等于 °.
8.如图,AB是☉O的直径,点C,D是☉O上的两点,且OC∥BD,求证:=.
【B层 能力进阶】
9.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是的中点,则∠ACD=( )
A.125° B.120° C.130° D.135°
10.如图,A,B是半径为2的☉O上的两点,若∠AOB=120°,点C是的中点,则四边形AOBC的周长为 .
11.如图,AB是☉O的直径,点C是半圆上的一个三等分点,点D是的中点,点P是直径AB上一点,若☉O的半径为2,则PC+PD的最小值是 .
12.如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB长为半径作☉A,分别交BC,AD于E,F两点,交BA的延长线于点G,连接AE,GE.
(1)求证:=;
(2)若∠EAG=140°,求∠D的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,分别交AB于C,D,点E,G,F,H在☉O上.
(1)若EG=8,AC=2,求☉O的半径;
(2)求证:=;
(3)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 请说明理由.十五 圆的对称性(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆的中心对称性及认识圆心角
1.下列命题中,正确的是 (D)
①顶点在圆心的角是圆心角;②相等的圆心角,所对的弧也相等;③两条弦相等,它们所对的弧也相等;④圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2.将一个圆分成四个扇形,使它们的圆心角的度数比为1∶2∶3∶4,则这四个扇形中最大的圆心角是 (B)
A.90° B.144° C.180° D.210°
3.如图的齿轮有30个齿,每两齿之间的间隔相等,则相邻两齿间的圆心角α等于 12 °.
4.(2024·潍坊模拟)如图,当圆中扇子对应的圆心角α(α<180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时,扇子会显得更加美观,若黄金比取0.6,则β-α的度数是 90° .
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
5.如图,在☉O中,AB,CD是两条弦,OM⊥CD,ON⊥AB,如果AB=CD,则下列结论不正确的是(C)
A.∠AON=∠DOM B.AN=DM
C.OM=DM D.OM=ON
6.如图所示,在☉O中=,∠A=30°,则∠B= (B)
A.150° B.75° C.60° D.15°
7.(2024·菏泽期末)如图,点A,B,C都在☉O上,B是的中点,∠OBC=50°,则∠AOB等于 80 °.
8.如图,AB是☉O的直径,点C,D是☉O上的两点,且OC∥BD,求证:=.
【证明】∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.
∵OC∥BD,∴∠OBD=∠AOC,∠ODB=∠DOC,
∴∠DOC=∠AOC,∴=.
【B层 能力进阶】
9.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是的中点,则∠ACD=(A)
A.125° B.120° C.130° D.135°
10.如图,A,B是半径为2的☉O上的两点,若∠AOB=120°,点C是的中点,则四边形AOBC的周长为 8 .
11.如图,AB是☉O的直径,点C是半圆上的一个三等分点,点D是的中点,点P是直径AB上一点,若☉O的半径为2,则PC+PD的最小值是 2 .
12.如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB长为半径作☉A,分别交BC,AD于E,F两点,交BA的延长线于点G,连接AE,GE.
(1)求证:=;
(2)若∠EAG=140°,求∠D的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠EAF=∠AEB,∠GAF=∠ABE.
∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,
∴∠EAF=∠GAF,∴=.
(2)∵∠EAG=140°,∴∠BAE=180°-140°=40°,∴∠AEB=∠ABE=×(180°-40°)=70°.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAE=∠AEB=70°,
∴∠BAD=∠DAE+∠BAE=70°+40°=110°,
∴∠D=180°-110°=70°.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,分别交AB于C,D,点E,G,F,H在☉O上.
(1)若EG=8,AC=2,求☉O的半径;
(2)求证:=;
(3)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 请说明理由.
【解析】(1)连接EO(图略),
设☉O的半径为r,
∵EG⊥AB,∴CE=CG=EG=4,
∵AC=2,∴OC=r-2,
在Rt△CEO中,OE2=CE2+OC2,
∴r2=42+(r-2)2,解得r=5,
∴☉O的半径为5.
(2)连接OE,OF,∵AC=BD,OA=OB,
∴OC=OD,∵EG⊥AB,FH⊥AB,
∴在Rt△COE和Rt△DOF中,
,∴Rt△COE≌Rt△DOF(HL),
∴∠AOE=∠BOF,∴=.
(3)==成立,理由如下:
∵C,D分别为OA,OB的中点,∴OC=OE,∴∠OEC=30°,
∴∠AOE=60°,同理∠BOF=60°,∴∠EOF=60°,∴==.
