十六 圆的对称性(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 圆心角的度数与它所对弧的度数的关系
1.如图,在☉O中,∠A=30°,劣弧的度数是(D)
A.30° B.60° C.90° D.120°
2.如图,在☉O中,AB是弦,C是上一点.若∠OAB=25°,∠OCA=40°,则的度数为 (A)
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.如图,在两个同心圆中,为60°,则的度数为 60° .
4.有一块三角板ABC,∠C为直角,∠ABC=30°,将它放置在☉O中,如图,点A,B在圆上,边BC经过圆心O,劣弧的度数等于 120 °.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,以点B为圆心,BC长为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,求的度数.
【解析】连接BE,如图,∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=×(180°-40°)=70°.
∵BE=BC,∴∠BEC=∠C=70°.∵∠BEC=∠A+∠ABE,
∴∠ABE=70°-40°=30°,∴的度数为30°.
6.(2024·泰安期末)如图,已知AB是☉O的直径,弦AC∥OD.
(1)求证:=.
(2)若的度数为58°,求∠AOD的度数.
【解析】(1)连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACO.
∵AC∥OD,∴∠OAC=∠BOD,∠DOC=∠ACO,∴∠BOD=∠COD,∴=.
(2)∵=,∴==,
∴∠COD=∠BOC=×(180°-58°)=61°,
∴∠AOD=58°+61°=119°.
【B层 能力进阶】
7.如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,使点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的度数为 (B)
A.40° B.50° C.60° D.70°
8.如图,AB,CD是☉O的弦,延长AB,CD相交于点E,已知∠E=30°,∠AOC=100°,则所对的圆心角的度数是 (B)
A.30° B.40° C.50° D.70°
9.如图,半圆O是一个量角器,△AOB为一纸片,AB交半圆于点D,OB交半圆于点C,若点C,D,A在量角器上对应读数分别为40°,60°,150°,则的度数为 110° ;∠A的度数为 45° .
10.如图,AB,DF是☉O的两条直径,C是☉O的直径AB上一点,过点C作弦DE,使CD=CO.若的度数为40°,求的度数.
【解析】连接OD,OE,∵的度数为40°,∴∠AOD=40°.
∵CD=CO,∴∠ODC=∠AOD=40°.
∵OD=OE,∴∠ODC=∠E=40°,∴∠DOE=100°,∴∠AOE=60°,
∴∠BOE=120°,∴的度数是120°.
11.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=80°,以AB为直径的半圆交AC于D,交BC于E,求,,所对圆心角的度数.
【解析】连接OD,OE,如图所示:∵AB=AC,∠A=80°,
∴∠B=∠C=50°.∵OD=OA=OB=OE,∴∠ODA=∠A=80°,∠OEB=∠B=50°,
∴∠AOD=180°-80°-80°=20°,∠BOE=180°-50°-50°=80°,
∴∠DOE=180°-20°-80°=80°,即,,所对圆心角的度数分别为20°,80°,80°.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(抽象能力、模型观念、推理能力)如图,在Rt△ABO中,∠O=90°,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点C,交OA于点D.
(1)若∠A=25°,则的度数为 .
(2)若OB=3,OA=4,求BC的长.
【解析】(1)连接OC.
∵∠AOB=90°,∠A=25°,∴∠B=90°-∠A=65°.
∵OB=OC,∴∠B=∠OCB=65°,∴∠BOC=180°-65°-65°=50°,
∴的度数为50°.
答案:50°
(2)如图,作OH⊥BC于H.
在Rt△AOB中,∵∠AOB=90°,OA=4,OB=3,∴AB===5.
∵S△AOB=·OB·OA=·AB·OH,∴OH==,∴BH===.
∵OH⊥BC,∴BH=CH,∴BC=2BH=.十六 圆的对称性(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 圆心角的度数与它所对弧的度数的关系
1.如图,在☉O中,∠A=30°,劣弧的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
2.如图,在☉O中,AB是弦,C是上一点.若∠OAB=25°,∠OCA=40°,则的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.如图,在两个同心圆中,为60°,则的度数为 .
4.有一块三角板ABC,∠C为直角,∠ABC=30°,将它放置在☉O中,如图,点A,B在圆上,边BC经过圆心O,劣弧的度数等于 °.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,以点B为圆心,BC长为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,求的度数.
6.(2024·泰安期末)如图,已知AB是☉O的直径,弦AC∥OD.
(1)求证:=.
(2)若的度数为58°,求∠AOD的度数.
【B层 能力进阶】
7.如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,使点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
8.如图,AB,CD是☉O的弦,延长AB,CD相交于点E,已知∠E=30°,∠AOC=100°,则所对的圆心角的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
9.如图,半圆O是一个量角器,△AOB为一纸片,AB交半圆于点D,OB交半圆于点C,若点C,D,A在量角器上对应读数分别为40°,60°,150°,则的度数为 ;∠A的度数为 .
10.如图,AB,DF是☉O的两条直径,C是☉O的直径AB上一点,过点C作弦DE,使CD=CO.若的度数为40°,求的度数.
11.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=80°,以AB为直径的半圆交AC于D,交BC于E,求,,所对圆心角的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(抽象能力、模型观念、推理能力)如图,在Rt△ABO中,∠O=90°,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点C,交OA于点D.
(1)若∠A=25°,则的度数为 .
(2)若OB=3,OA=4,求BC的长.
