十七 确定圆的条件
【A层 基础夯实】
知识点1 确定圆的条件
1.(2024·菏泽期末)下列条件中,能确定圆的是 (D)
A.以已知点O为圆心
B.以1 cm长为半径
C.经过已知点A,且半径为2 cm
D.以点O为圆心,1 cm为半径
2.平面直角坐标系内的三个点A(1,-3),B(0,-3),C(2,-3), 不能 确定一个圆(填“能”或“不能”).
3.(教材P76实验与探究变式)如图,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C,要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞,这只花猫最好蹲守在 (D)
A.△ABC三边高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三边中线的交点处
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
知识点2 三角形的外接圆
4.如图,△ABC内接于☉O,∠C=50°,则∠OBA的度数为 (C)
A.25° B.30° C.40° D.50°
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(0,2)和(4,0),则△OAB的外接圆的圆心坐标是 (2,1) .
知识点3 反证法
6.用反证法证明:一个三角形中,至少有两个角是锐角.应先假设三角形中 (B)
A.至少有两个角是锐角
B.至多有一个角是锐角
C.只有一个角是锐角
D.没有一个角是锐角
7.反证法是数学证明的一种重要方法.请将运用反证法进行证明的过程补全.
已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°.
证明:假设 ∠B≥90° .
∵AB=AC,
∴∠B=∠C≥90°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,
这与 三角形内角和定理 矛盾,
∴ 此假设 不成立,
∴∠B<90°.
【B层 能力进阶】
8.已知△ABC,若过点A,点B作圆,那么下面说法正确的是 (D)
A.这样的圆只能作出一个
B.这样的圆只能作出两个
C.点C不在该圆的外部,就在该圆的内部
D.圆心分布在AB的垂直平分线上
9.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点B为圆心,2为半径的☉B上有一动点P.连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值是 (A)
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
10.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且AE⊥BE,则线段CE的最小值为 2-2 .
11.(2024·潍坊模拟)对于命题“如图,如果OA=OC,OB≠OD,那么四边形ABCD不是平行四边形”.用反证法证明这个结论时,第一步应假设 四边形ABCD是平行四边形 .
12.如图,在△ABC中,BC=6 cm,AB=AC,∠BAC=120°.
(1)尺规作图:作△ABC的外接圆(只需作出图形,并保留作图痕迹);
(2)求它的外接圆半径.
【解析】(1)分别作出AB,BC的垂直平分线,根据垂直平分线上的点,到线段两端点距离相等,
可得PA=PB=PC,∴交点即是圆心;
(2)由题意得:BC=6 cm,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠CAP=60°,PC=PA,BM=MC=3cm,
∴△APC是等边三角形,∴PA=PC=AC,
∴∠MPC=60°,sin 60°==,PC=6.
则它的外接圆半径为6.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、模型观念、推理能力)如图所示,等边△ABC内接于☉O,D为圆周上一点.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若CD=1,AD=2,求BD的长度.
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,
∵∠ADB=∠ACB=60°,∠CDB=∠BAC=60°,∴∠ADB=∠CDB,
即DB平分∠ADC;
(2)在DB截取DE=DC=1,如图,∵∠CDE=60°,DE=DC,
∴△DEC为等边三角形,∴CE=CD,∠DEC=60°,
∵∠BEC=180°-∠DEC=120°,∠ADC=∠ADB+∠CDB=120°,
∴∠BEC=∠ADC,∵∠CBE和∠CAD都对应,∴∠CBE=∠CAD,
∵△ABC为等边三角形,∴BC=CA,在△BCE和△ACD中,,
∴△BCE≌△ACD(AAS),∴BE=AD=2,
∴BD=BE+DE=2+1=3.十七 确定圆的条件
【A层 基础夯实】
知识点1 确定圆的条件
1.(2024·菏泽期末)下列条件中,能确定圆的是 ( )
A.以已知点O为圆心
B.以1 cm长为半径
C.经过已知点A,且半径为2 cm
D.以点O为圆心,1 cm为半径
2.平面直角坐标系内的三个点A(1,-3),B(0,-3),C(2,-3), 确定一个圆(填“能”或“不能”).
3.(教材P76实验与探究变式)如图,一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C,要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞,这只花猫最好蹲守在 ( )
A.△ABC三边高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三边中线的交点处
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
知识点2 三角形的外接圆
4.如图,△ABC内接于☉O,∠C=50°,则∠OBA的度数为 ( )
A.25° B.30° C.40° D.50°
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(0,2)和(4,0),则△OAB的外接圆的圆心坐标是 .
知识点3 反证法
6.用反证法证明:一个三角形中,至少有两个角是锐角.应先假设三角形中 ( )
A.至少有两个角是锐角
B.至多有一个角是锐角
C.只有一个角是锐角
D.没有一个角是锐角
7.反证法是数学证明的一种重要方法.请将运用反证法进行证明的过程补全.
已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°.
证明:假设 .
∵AB=AC,
∴∠B=∠C≥90°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,
这与 矛盾,
∴ 不成立,
∴∠B<90°.
【B层 能力进阶】
8.已知△ABC,若过点A,点B作圆,那么下面说法正确的是 ( )
A.这样的圆只能作出一个
B.这样的圆只能作出两个
C.点C不在该圆的外部,就在该圆的内部
D.圆心分布在AB的垂直平分线上
9.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点B为圆心,2为半径的☉B上有一动点P.连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值是 ( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
10.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且AE⊥BE,则线段CE的最小值为 .
11.(2024·潍坊模拟)对于命题“如图,如果OA=OC,OB≠OD,那么四边形ABCD不是平行四边形”.用反证法证明这个结论时,第一步应假设 .
12.如图,在△ABC中,BC=6 cm,AB=AC,∠BAC=120°.
(1)尺规作图:作△ABC的外接圆(只需作出图形,并保留作图痕迹);
(2)求它的外接圆半径.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、模型观念、推理能力)如图所示,等边△ABC内接于☉O,D为圆周上一点.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若CD=1,AD=2,求BD的长度.
