3.3 圆周角(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理
1.(2023·宜宾中考)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC=35°,则
∠AOB等于 ( )
A.140° B.120° C.110° D.70°
2.如图,在☉O中,弦AB=2,点C是圆上一点且∠ACB=45°,则☉O的直径为 .
知识点2 圆周角定理的推论1
3.如图,若AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠BCD=35°,则劣弧的度数为 ( )
A.95° B.100° C.110° D.120°
4.如图,在☉O中,两条弦AB,CD交于点E,的度数为130°,的度数为40°,求
∠AED的度数为 .
【B层 能力进阶】
5.如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,点D在OA的延长线上,若A(2,0),D(4,0),以O为圆心,OD长为半径的弧经过点B,交y轴正半轴于点E,连接DE,BE,则∠BED的度数是 ( )
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
6.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC= ( )
A.1 B.2 C.2 D.4
7.如图,△ABC的顶点A,B,C均在☉O上,连接OA,OC,∠ABC+∠AOC=75°,则∠OAC的度数是 .
【C层 创新挑战(选做)】
8.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2024·聊城模拟)如图,AB为☉O的直径,点C,D为直径AB同侧圆上的点,且点D为的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE,交☉O于点F,AC与DF交于点G.
(1)如图①,若点C为的中点,求∠AGF的度数;
(2)如图②,若AC=12,AE=3,求☉O的半径.3.3 圆周角(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理
1.(2023·宜宾中考)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC=35°,则
∠AOB等于 (A)
A.140° B.120° C.110° D.70°
2.如图,在☉O中,弦AB=2,点C是圆上一点且∠ACB=45°,则☉O的直径为 4 .
知识点2 圆周角定理的推论1
3.如图,若AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠BCD=35°,则劣弧的度数为 (C)
A.95° B.100° C.110° D.120°
4.如图,在☉O中,两条弦AB,CD交于点E,的度数为130°,的度数为40°,求
∠AED的度数为 85° .
【B层 能力进阶】
5.如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,点D在OA的延长线上,若A(2,0),D(4,0),以O为圆心,OD长为半径的弧经过点B,交y轴正半轴于点E,连接DE,BE,则∠BED的度数是 (C)
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
6.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC= (B)
A.1 B.2 C.2 D.4
7.如图,△ABC的顶点A,B,C均在☉O上,连接OA,OC,∠ABC+∠AOC=75°,则∠OAC的度数是 65° .
【C层 创新挑战(选做)】
8.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2024·聊城模拟)如图,AB为☉O的直径,点C,D为直径AB同侧圆上的点,且点D为的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE,交☉O于点F,AC与DF交于点G.
(1)如图①,若点C为的中点,求∠AGF的度数;
(2)如图②,若AC=12,AE=3,求☉O的半径.
【解析】(1)∵AB为☉O的直径,D为的中点,C为的中点,
∴==,∴∠BAC=30°,∵DE⊥AB,∴∠AEG=90°,
∴∠AGF=90°-30°=60°;
(2)如图,连接OF.
∵DE⊥AB,∴DE=EF,=,∵点D是的中点,
∴=,∴=,∴AC=DF=12,
∴EF=DF=6,设OA=OF=x,在Rt△OEF中,则有x2=62+(x-3)2,
解得x=7.5,∴☉O的半径是7.5.3.3 圆周角(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理的推论2,3
1.(2023·自贡中考)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是 (C)
A.41° B.45° C.49° D.59°
2.(2024·聊城期末)如图,AB为☉O的直径,弦CD和AB相交,若∠ABC=38°,则∠D的大小是 (B)
A.38° B.52° C.60° D.70°
知识点2 圆内接四边形及其性质(推论4)
3.△ABC与☉O交于点D,E,C,B,∠A=40°,∠C=60°,则∠AED的度数为 (C)
A.60° B.40°
C.80° D.100°
4.圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为 60° .
【B层 能力进阶】
5.如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是 (B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.如图,AB是☉O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则☉O的直径为 (B)
A. B.2 C.1 D.2
7.(2024·济宁期末)如图,在☉O中,AB=CD,弦AB与CD相交于点M.
(1)求证:=.
(2)连接AC,AD,若AD是☉O的直径,求证:∠BAC+2∠BAD=90°.
【证明】(1)∵AB=CD,∴=,∴+=+,∴=.
(2)∵=,∴∠ADC=∠BAD,∴∠AMC=∠MAD+∠MDA=2∠BAD,
∵AD是直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAB+∠AMC=90°,∴∠CAB+2∠BAD=90°.
【C层 创新挑战(选做)】
8.如图,四边形ABCD内接于圆O,AB是直径,点C是的中点,延长AD交BC的延长线于点E.
(1)求证:CE=CD;
(2)若AB=3,BC=,求AD的长.
【解析】(1)连接AC,
∵AB为直径,∴∠ACB=∠ACE=90°,又∵点C是的中点,
∴∠CAE=∠CAB,CD=CB,又∵AC=AC,∴△ACE≌△ACB(ASA),
∴CE=CB,∴CE=CD;
(2)∵△ACE≌△ACB,AB=3,∴AE=AB=3,
又∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠ADC+∠ABC=180°,
又∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠CDE=∠ABE,
又∵∠E=∠E,∴△EDC∽△EBA,∴=,即=,解得DE=2,
∴AD=AE-DE=1.3.3 圆周角(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理的推论2,3
1.(2023·自贡中考)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是 ( )
A.41° B.45° C.49° D.59°
2.(2024·聊城期末)如图,AB为☉O的直径,弦CD和AB相交,若∠ABC=38°,则∠D的大小是 ( )
A.38° B.52° C.60° D.70°
知识点2 圆内接四边形及其性质(推论4)
3.△ABC与☉O交于点D,E,C,B,∠A=40°,∠C=60°,则∠AED的度数为 ( )
A.60° B.40°
C.80° D.100°
4.圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为 .
【B层 能力进阶】
5.如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是 ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.如图,AB是☉O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则☉O的直径为 ( )
A. B.2 C.1 D.2
7.(2024·济宁期末)如图,在☉O中,AB=CD,弦AB与CD相交于点M.
(1)求证:=.
(2)连接AC,AD,若AD是☉O的直径,求证:∠BAC+2∠BAD=90°.
【C层 创新挑战(选做)】
8.如图,四边形ABCD内接于圆O,AB是直径,点C是的中点,延长AD交BC的延长线于点E.
(1)求证:CE=CD;
(2)若AB=3,BC=,求AD的长.
