3.4 直线与圆的位置关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 判断直线和圆的位置关系
1.☉O的半径为3,点O到直线l的距离为4,则反映直线l与☉O位置关系的图形是 ( )
2.在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆 ( )
A.与x轴相交,与y轴相切
B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交
D.与x轴相切,与y轴相离
3.如图,在矩形ABCD中,BC=5,AB=2,☉O是以BC为直径的圆,则直线AD与☉O的位置关系是 .
4.如图,已知∠O=30°,C为OB上一点,且OC=6,以点C为圆心,试判断半径为3的圆与OA的位置关系,并说明理由.
知识点2 直线和圆的位置关系的应用
5.若直线l与半径为4的☉O相交,则圆心O到直线l的距离d可能为 ( )
A.3 B.4 C.4.5 D.5
6.已知某直线到圆心的距离为5 cm,圆的周长为10π cm,请问这条直线与这个圆的公共点的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
7.(易错警示题·忽略分类讨论)如图,在直线l上有相距12 cm的两点A和O(点A在点O的右侧),以O为圆心作半径为2 cm的圆,过点A作直线AB⊥l.将☉O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上),则经过 s时,☉O与直线AB相切.
8.已知圆心O到直线m的距离为d,☉O的半径为r.
(1)当d,r是方程x2-9x+20=0的两根时,判断直线m与☉O的位置关系
(2)当d,r是方程x2-4x+p=0的两根时,直线m与☉O相切,求p的值.
【B层 能力进阶】
9.(易错警示题)☉O的半径为5,点A在直线l上.若OA=5,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交
C.相切或相交 D.相离
10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定
11.(易错警示题,隐含条件未挖掘)(2024·菏泽模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为 .
12.已知☉O的弦AB=1.6,优弧上的点到AB的最大距离为1.6,直线l⊥AB,若☉O上有4个不同的点到l的距离等于0.4,则点O到l的距离d的范围为 .
13.如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,∠B=45°,以D为圆心,DC为半径的圆交AD于点E.若AB=2,AD=2,判断直线AB与☉D的位置关系,并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(抽象能力、模型观念、推理能力)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.动点O在边AC上移动,且☉O的半径为2.
(1)若圆心O与点C重合,则☉O与直线AB有怎样的位置关系
(2)当OC等于多少时,☉O与直线AB相切 3.4 直线与圆的位置关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 判断直线和圆的位置关系
1.☉O的半径为3,点O到直线l的距离为4,则反映直线l与☉O位置关系的图形是 (D)
2.在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆 (C)
A.与x轴相交,与y轴相切
B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交
D.与x轴相切,与y轴相离
3.如图,在矩形ABCD中,BC=5,AB=2,☉O是以BC为直径的圆,则直线AD与☉O的位置关系是 相交 .
4.如图,已知∠O=30°,C为OB上一点,且OC=6,以点C为圆心,试判断半径为3的圆与OA的位置关系,并说明理由.
【解析】相切,
理由:过点C作CD⊥AO于点D,
∵∠O=30°,OC=6,∴DC=3,
∴以点C为圆心,半径为3的圆与OA的位置关系是相切.
知识点2 直线和圆的位置关系的应用
5.若直线l与半径为4的☉O相交,则圆心O到直线l的距离d可能为 (A)
A.3 B.4 C.4.5 D.5
6.已知某直线到圆心的距离为5 cm,圆的周长为10π cm,请问这条直线与这个圆的公共点的个数为 (B)
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
7.(易错警示题·忽略分类讨论)如图,在直线l上有相距12 cm的两点A和O(点A在点O的右侧),以O为圆心作半径为2 cm的圆,过点A作直线AB⊥l.将☉O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上),则经过 5或7 s时,☉O与直线AB相切.
8.已知圆心O到直线m的距离为d,☉O的半径为r.
(1)当d,r是方程x2-9x+20=0的两根时,判断直线m与☉O的位置关系
(2)当d,r是方程x2-4x+p=0的两根时,直线m与☉O相切,求p的值.
【解析】(1)解方程x2-9x+20=0得 d=5,r=4或d=4,r=5,
当d=5,r=4时,d>r,此时直线m与☉O相离;
当d=4,r=5时,d(2)当直线m与☉O相切时,d=r,即16-4p=0,解得p=4.
【B层 能力进阶】
9.(易错警示题)☉O的半径为5,点A在直线l上.若OA=5,则直线l与☉O的位置关系是 (C)
A.相切 B.相交
C.相切或相交 D.相离
10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是 (B)
A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定
11.(易错警示题,隐含条件未挖掘)(2024·菏泽模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为 1或5 .
12.已知☉O的弦AB=1.6,优弧上的点到AB的最大距离为1.6,直线l⊥AB,若☉O上有4个不同的点到l的距离等于0.4,则点O到l的距离d的范围为 013.如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,∠B=45°,以D为圆心,DC为半径的圆交AD于点E.若AB=2,AD=2,判断直线AB与☉D的位置关系,并说明理由.
【解析】直线AB与☉D相离.理由如下:
作AM⊥BC于M,作DN⊥BA的延长线于N,如图所示:
则∠DNA=∠AMB=90°,四边形AMCD是矩形,∴CD=AM,
∵AD∥BC,∠DAN=∠B=45°,∴△ABM和△DAN都是等腰直角三角形,
∴AM=AB=2,DN=AD=,∴CD=2,即☉D的半径r=2,
∵DN=>2,∴直线AB与☉D相离.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(抽象能力、模型观念、推理能力)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.动点O在边AC上移动,且☉O的半径为2.
(1)若圆心O与点C重合,则☉O与直线AB有怎样的位置关系
(2)当OC等于多少时,☉O与直线AB相切
【解析】(1)如图,过点C作CM⊥AB,垂足为M.
在Rt△ABC中,AB===5.∵AC·BC=AB·CM,∴CM=.
∵>2,∴☉O与直线AB相离.
(2)如图,过点O作ON⊥AB于点N,使ON=2.
∵CM⊥AB,∴ON∥CM.∴△AON∽△ACM,∴=.
设OC=x,则AO=3-x,∴=.解得x=.
∴当OC=时,☉O与直线AB相切.
