3.4 直线与圆的位置关系(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 切线长定理
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,则表示切线长的线段为 (D)
A.PD B.PC C.PE D.PB
2.(2024·深圳模拟)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是 (D)
A.32° B.48°
C.60° D.66°
3.(2023·娄底中考)如图,☉O的半径为3 cm,点P到圆心的距离为6 cm,经过点P引☉O的两条切线,这两条切线的夹角为 60° .
4.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE= 2 .
5.(2023·嘉兴、舟山中考)如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.已知∠A=50°,则∠D的度数是 65° .
6.如图,点B在☉O外,以B点为圆心,OB长为半径的☉B与☉O相交于两点C,D,与直线OB相交于A点.当AC=5时,求AD的长.
【解析】连接OC,OD.
∵OA是☉B的直径,
∴∠OCA=∠ODA=90°.
∵OC,OD为☉O的半径,
∴AC,AD都是☉O的切线.
∵AC=5,∴AD=AC=5.
【B层 能力进阶】
7.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:
①PA=PB;
②OP⊥AB;
③四边形OAPB有外接圆;
④M是△AOP外接圆的圆心.
其中正确说法的个数是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2024·潍坊期末)如图,PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点,若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为 (D)
A.50° B.62° C.66° D.70°
9.PA,PB是☉O的切线,切点是A,B,∠APB=50°,过A作☉O的直径AC,连接CB,则∠PBC= 155° .
10. (2024·菏泽期末)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D,若☉O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是 .
11.如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6,CO=8.
(1)判断△OBC的形状,并证明你的结论;
(2)求BC的长;
(3)求☉O的半径OF的长.
【解析】(1)△OBC是直角三角形.
∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,
∴∠OBE=∠OBF=∠EBF,∠OCG=∠OCF=∠GCF,
∵AB∥CD,
∴∠EBF+∠GCF=180°,
∴∠OBF+∠OCF=90°,
∴∠BOC=90°,
∴△OBC是直角三角形;
(2)∵在Rt△BOC中,BO=6,CO=8,
∴BC==10;
(3)∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,
∴OF⊥BC,
∴OF===4.8.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(抽象能力、模型观念、推理能力)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,C为上的一点,∠COA=∠P.
(1)求证:BC∥OA;
(2)若BC=10,OA=13,求PA的长.
【解析】(1)如图1,连接OB,延长AO交☉O于点D,
∵PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,
∴∠OBP=∠OAP=90°,
∴∠P+∠AOB=180°,
∵∠AOB+∠BOD=180°,
∴∠BOD=∠P,
∵∠COA=∠P,
∴∠COA=∠BOD,
∵OB=OC,
∴∠BCO=∠CBO,
∵∠COB+2∠BCO=180°,∠COB+2∠COA=180°,
∴∠COA=∠BCO,
∴BC∥OA;
(2) 如图2,延长BC交PA于点E,过点O作OF⊥BC于F,
∴BF=CF=BC=5,
∵OC=OA=13,
∴由勾股定理得:AE=OF==12,
∵PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,
∴PA=PB,
设PA=x,则PB=x,PE=x-12,
∵BC∥OA,OA⊥PA,
∴BE⊥PA,
∴∠PEB=90°,
∴PB2=PE2+BE2,
∴x2=(x-12)2+(13+5)2,
解得x=,
∴PA=.3.4 直线与圆的位置关系(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 切线长定理
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,则表示切线长的线段为 ()
A.PD B.PC C.PE D.PB
2.(2024·深圳模拟)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是 (
A.32° B.48°
C.60° D.66°
3.(2023·娄底中考)如图,☉O的半径为3 cm,点P到圆心的距离为6 cm,经过点P引☉O的两条切线,这两条切线的夹角为 .
4.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE= .
5.(2023·嘉兴、舟山中考)如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.已知∠A=50°,则∠D的度数是 .
6.如图,点B在☉O外,以B点为圆心,OB长为半径的☉B与☉O相交于两点C,D,与直线OB相交于A点.当AC=5时,求AD的长.
【B层 能力进阶】
7.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:
①PA=PB;
②OP⊥AB;
③四边形OAPB有外接圆;
④M是△AOP外接圆的圆心.
其中正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2024·潍坊期末)如图,PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点,若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为 ( )
A.50° B.62° C.66° D.70°
9.PA,PB是☉O的切线,切点是A,B,∠APB=50°,过A作☉O的直径AC,连接CB,则∠PBC= .
10. (2024·菏泽期末)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D,若☉O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是 .
11.如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6,CO=8.
(1)判断△OBC的形状,并证明你的结论;
(2)求BC的长;
(3)求☉O的半径OF的长.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(抽象能力、模型观念、推理能力)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,C为上的一点,∠COA=∠P.
(1)求证:BC∥OA;
(2)若BC=10,OA=13,求PA的长.
