3.4 直线与圆的位置关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 切线的判定
1.(教材再开发·P93例2变式)如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是 ()
A.DE=DO B.AB=AC
C.CD=DB D.AC∥OD
2.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,以点A为圆心,AC长为半径作圆,要使BC为圆的切线,则边AC与BC所满足的条件是 .
3.(2023·乐山中考改编)如图,已知☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,D是圆上一点,E是DC延长线上一点,连接AD,AE,且AD=AE,CA=CE.求证:直线AE是☉O的切线.
知识点2 切线的性质
4.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,∠APB=60°,则∠AOB的度数为 ( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
5.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为 .
6.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
7.(2023·金华中考)如图,点A在第一象限内,☉A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连接AB,过点A作AH⊥CD于点H.
(1)求证:四边形ABOH为矩形.
(2)已知☉A的半径为4,OB=,求弦CD的长.
【B层 能力进阶】
8.如图,点D是△ABC中BC边的中点,DE⊥AC于E,以AB为直径的☉O经过D,连接AD,有下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.其中正确的结论是 ( )
A.①② B.①②③
C.②③ D.①②③④
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)直线AB与☉O相切于点B,C是☉O与OA的交点,点D是☉O上的动点(D与B,C不重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是 ( )
A.25°或155° B.50°或155°
C.25°或130° D.50°或130°
10.(2023·鸡西中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠B=28°,则∠P= °.
11.(2023·黄冈中考节选)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点D,DE是☉O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,求证:AB=AC.
12.(2023·内江中考)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC的延长线于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
(2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2023·威海中考)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,☉P与x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2).连接AC,BC.
(1)求点P的坐标;
(2)求cos∠ACB的值.3.4 直线与圆的位置关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 切线的判定
1.(教材再开发·P93例2变式)如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是 (A)
A.DE=DO B.AB=AC
C.CD=DB D.AC∥OD
2.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,以点A为圆心,AC长为半径作圆,要使BC为圆的切线,则边AC与BC所满足的条件是 AC=BC或AC⊥BC .
3.(2023·乐山中考改编)如图,已知☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,D是圆上一点,E是DC延长线上一点,连接AD,AE,且AD=AE,CA=CE.求证:直线AE是☉O的切线.
【证明】∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直径,
∵AD=AE,∴∠E=∠D,
∵∠B=∠D,∴∠E=∠B,
∵CA=CE,∴∠E=∠CAE,∴∠CAE=∠B,
∴∠OAE=∠CAE+∠CAB=∠B+∠CAB=90°,
∵OA是☉O的半径,且AE⊥OA,
∴直线AE是☉O的切线.
知识点2 切线的性质
4.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,∠APB=60°,则∠AOB的度数为 (C)
A.100° B.110° C.120° D.130°
5.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为 50° .
6.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
7.(2023·金华中考)如图,点A在第一象限内,☉A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连接AB,过点A作AH⊥CD于点H.
(1)求证:四边形ABOH为矩形.
(2)已知☉A的半径为4,OB=,求弦CD的长.
【解析】(1)∵☉A与x轴相切于点B,
∴AB⊥x轴,
又∵AH⊥CD,HO⊥OB,∴∠AHO=∠HOB=∠OBA=90°,∴四边形ABOH是矩形;
(2)连接AD,
∵四边形AHOB是矩形,∴AH=OB=,
∵AD=AB=4,
∴DH===3,
∵AH⊥CD,∴CD=2DH=6.
【B层 能力进阶】
8.如图,点D是△ABC中BC边的中点,DE⊥AC于E,以AB为直径的☉O经过D,连接AD,有下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.其中正确的结论是 (D)
A.①② B.①②③
C.②③ D.①②③④
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)直线AB与☉O相切于点B,C是☉O与OA的交点,点D是☉O上的动点(D与B,C不重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是 (A)
A.25°或155° B.50°或155°
C.25°或130° D.50°或130°
10.(2023·鸡西中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠B=28°,则∠P= 34 °.
11.(2023·黄冈中考节选)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点D,DE是☉O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,求证:AB=AC.
【证明】连接OD(图略),
∵DE是☉O的切线,∴半径OD⊥DE,
∵DE⊥AC,∴OD∥AC,∴∠C=∠ODB,
∵OD=OB,∴∠B=∠ODB,
∴∠B=∠C,∴AB=AC.
12.(2023·内江中考)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC的延长线于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
(2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长.
【解析】(1)连接OD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,
∵OD是☉O的半径,
∴直线DE是☉O的切线;
(2)△ABM是等边三角形,理由如下:
∵DE⊥AC,∠F=30°,
∴∠EAF=60°,
∴∠EAD=∠DAF=30°,
∴∠CBD=∠CAD=30°,
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-∠EAF=30°,
∴∠ABM=∠ABC+∠CBD=60°,
∴△ABM是等边三角形;
(3)∵△ABM是等边三角形,
∴∠M=60°,
∴∠MDE=30°,
∵ME=1,DE⊥AM,
∴MD=2ME=2,
∴AB=MB=4,
∵AB为☉O的直径,∠ABC=30°,
∴AC=AB=2,
∵∠CAD=30°,
∴AP=2CP,
∵AP2=CP2+AC2,
∴AP=.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2023·威海中考)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,☉P与x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2).连接AC,BC.
(1)求点P的坐标;
(2)求cos∠ACB的值.
【解析】(1)∵点A(0,8),B(0,2),
∴AB=6,
过P作PH⊥AB于H,
∴AH=BH=3,∴OH=5,
连接PC,PB,
∵☉P与x轴相切于点C,
∴PC⊥x轴,
∴∠PHB=∠PCO=∠COH=90°,
∴四边形PCOH是矩形,
∴PC=OH=5,
∵PH==4,
∴点P的坐标为(4,5);
(2)连接AP并延长交☉P于M,连接BM,
则∠ABM=90°,
∴BM===8,
∴cos∠ACB=cos∠AMB===.
