二十三 三角形的内切圆
【A层 基础夯实】
知识点 三角形内切圆及内心的性质
1.已知☉O为△ABC的内切圆,则点O是△ABC的 (D)
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
2.下列说法中,正确的是 (B)
A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B.任何三角形有且只有一个内切圆
C.三点确定一个圆
D.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
3.(2024·烟台模拟)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 (C)
A.56° B.62° C.68° D.78°
4.如图,已知△ABC的内切圆☉O,与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是 70° .
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∠DOE=120°,
∠EOF=110°,则∠A= 50° ,∠B= 60° ,∠C= 70° .
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AB=5,AC=3,求内切圆☉O的半径.
【解析】(1)∵☉O是△ABC的内切圆,
∴OD⊥BC,OE⊥AC.
又∵∠C=90°,∴四边形ODCE是矩形.
∵OD=OE,∴四边形ODCE是正方形.
(2)设☉O的半径为r,
∵四边形ODCE是正方形,
∴OD=DC=CE=r.
在Rt△ABC中,BC==4,
则BD=4-r,AE=3-r.
∵☉O与△ABC各边分别相切于点D,E,F,
∴AE=AF=3-r,BF=BD=4-r.
∵AB=AF+BF=5,∴3-r+4-r=5,
解得r=1,
∴内切圆的半径是1.
【B层 能力进阶】
7.(教材再开发·P104习题3.5T4变式)如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,已知∠A=110°,则∠DEF的度数是 (A)
A.35° B.40° C.45° D.70°
8.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= 35° .
9.一个直角三角形两条直角边的长分别为6,8,则这个直角三角形的内心与外心之间的距离为 .
10.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O.BC>AC,=.连接CD交AB于点E,P为线段CD上一点,且BD=PD,连接BP.
(1)求证:点P是△ABC的内心;
(2)已知☉O的直径是5,CD=7,求BC的长.
【解析】(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵=,∴∠ACD=∠BCD,
∴CD平分∠ACB.
∵PD=BD,∴∠BPD=∠PBD.
∵∠BPD=∠BCP+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠ABP,∠ABD=∠BCD,
∴∠CBP=∠ABP,∴BP平分∠ABC,
∴点P是△ABC的内心.
(2)连接AD,过点B作BH⊥CD于H,如图所示:
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵=,∴AD=BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,∠ABD=∠BAD=45°,
∴2BD2=AB2,∴BD=AB=5.
∵∠BCD=∠BAD=45°,BH⊥CD,
∴∠BCH=∠CBH=45°,
∴BH=CH,∴BC=BH.
∵BD2=DH2+BH2,CD=7,
∴25=(7-BH)2+BH2,∴BH=3或4.
∵BC>AC,∴BC=4.
11.(2024·聊城期末)如图,△ABC中AB=AC,D为AC边上一点,☉I为△ABD内切圆,G,E,F为切点.
(1)求证:BE=CF;
(2)若BD=10,CD=4,求BE的长.
【解析】(1)∵☉I为△ABD内切圆,
∴AG=AF,BG=BE,
∵AB=AC,∴BG=CF,∴BE=CF;
(2)∵☉I为△ABD内切圆,∴DF=DE,
设DF=DE=x,∵CD=4,则CF=4+x,
∵BE=CF,∴BE=4+x,
∴BD=BE+DE=4+x+x=4+2x,
∵BD=10,∴4+2x=10,解得x=3,
∴BE=4+x=7,即BE的长为7.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(抽象能力、运算能力、推理能力)(2024·威海期末)如图,Rt△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P是边AC上的一动点,PH⊥AB,垂足为H.
(1)求☉O的半径的长及线段AD的长;
(2)设PH=x,PC=y,求y关于x的函数关系式.
【解析】(1)连接AO,DO.设☉O的半径为r.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC==4,则☉O的半径r=(AC+BC-AB)=×(4+3-5)=1;
∵CE,CF是☉O的切线,∠ACB=90°,
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE,
∴四边形CEOF是正方形,∴CF=OF=1;
又∵AD,AF是☉O的切线,∴AF=AD;
∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3,
即AD=3;
(2)在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,
∵∠C=90°,PH⊥AB,
∴∠C=∠PHA=90°,
∵∠A=∠A,∴△AHP∽△ACB,
∴==,即=,
∴y=-x+4,
即y与x的函数关系式是y=-x+4.二十三 三角形的内切圆
【A层 基础夯实】
知识点 三角形内切圆及内心的性质
1.已知☉O为△ABC的内切圆,则点O是△ABC的 ( )
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
2.下列说法中,正确的是 ( )
A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B.任何三角形有且只有一个内切圆
C.三点确定一个圆
D.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
3.(2024·烟台模拟)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 ( )
A.56° B.62° C.68° D.78°
4.如图,已知△ABC的内切圆☉O,与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是 .
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∠DOE=120°,
∠EOF=110°,则∠A= ,∠B= ,∠C= .
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AB=5,AC=3,求内切圆☉O的半径.
【B层 能力进阶】
7.(教材再开发·P104习题3.5T4变式)如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,已知∠A=110°,则∠DEF的度数是 ( )
A.35° B.40° C.45° D.70°
8.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= .
9.一个直角三角形两条直角边的长分别为6,8,则这个直角三角形的内心与外心之间的距离为 .
10.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O.BC>AC,=.连接CD交AB于点E,P为线段CD上一点,且BD=PD,连接BP.
(1)求证:点P是△ABC的内心;
(2)已知☉O的直径是5,CD=7,求BC的长.
11.(2024·聊城期末)如图,△ABC中AB=AC,D为AC边上一点,☉I为△ABD内切圆,G,E,F为切点.
(1)求证:BE=CF;
(2)若BD=10,CD=4,求BE的长.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(抽象能力、运算能力、推理能力)(2024·威海期末)如图,Rt△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P是边AC上的一动点,PH⊥AB,垂足为H.
(1)求☉O的半径的长及线段AD的长;
(2)设PH=x,PC=y,求y关于x的函数关系式.
