二十四 弧长及扇形面积的计算
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长公式及应用
1.(2023·兰州中考)如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线如图2所示,是一条圆弧,圆弧的半径OA=20 cm,圆心角∠AOB=90°,则的长为 (B)
A.20π cm B.10π cm C.5π cm D.2π cm
2.数学课上,老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心、AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形DAB的面积是 1 .
3.如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交☉O于点F.
(1)AB与AC的长度有什么关系 请说明理由;
(2)若AB=8,∠BAC=45°,求图中的长.
【解析】(1)AB=AC,理由如下:
如图,连接OD,
∵OA=OB,BD=CD,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∴∠ACB=∠ODB,
又∵OB=OD,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠OBD=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)∵OD∥AC,∠BAC=45°,
∴∠BOD=∠BAC=45°,
∵AB=8,可得半径为4,
∴的长为=π.
知识点2 弧长、扇形公式的综合应用
4.(2023·鄂州中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O为BC的中点,以O为圆心,OB长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是 (C)
A.5-π B.5-4π
C.5-2π D.10-2π
5.(2023·泰安中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,半径为4,连接OB,OC,OA,若∠CAO=40°,∠ACB=70°,则阴影部分的面积是 π .
6.(2024·嘉峪关期末)如图,一根5 m长的绳子,一端拴在90°的围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊(羊只能在草地上活动),求小羊在草地上可活动区域的面积.(结果保留π)
【解析】如图,大扇形的圆心角是90°,半径是5 m.
所以大扇形的面积为×π×52=(m2),
小扇形的圆心角是180°-120°=60°,
半径是5-4=1(m),
则小扇形的面积为×π×12=(m2),
所以小羊在草地上的可活动区域的面积为+=(m2).
【B层 能力进阶】
7.如图,在半径为6 cm的☉O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3 cm;③扇形OCAB的面积为12π cm2;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是 (D)
A.①③ B.①②③④
C.②③④ D.①③④
8.(2022·恩施州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,☉O为Rt△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为(结果保留π) 5-π .
9.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 π cm(结果用含π的式子表示).
10.如图,半圆O的直径AB=2,弦CD∥AB,∠CAD=30°,
(1)求弦CD的长;
(2)求阴影部分的面积(结果保留π).
【解析】(1)连接OC,OD,
∵∠CAD=30°,∴∠COD=2∠CAD=60°,
∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,∴CD=OC,
∵半圆O的直径AB=2,∴OC=1,∴CD=1.
(2) ∵CD∥AB,
∴S△OCD=S△ACD,
∴S阴影=S扇形OCD,
∵S扇形OCD==,
∴S阴影=.
【C层 创新挑战（选做）】
11.(运算能力、推理能力、几何直观)(2023·河北中考)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.
计算:在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作:将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动.如图2.其中,半圆弧的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D.
探究:在图2中.
(2)操作后水面高度下降了多少
(3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小.
【解析】(1)连接OM,
∵O为圆心,OC⊥MN于点C,MN=48 cm,
∴MC=MN=24 cm,
∵AB=50 cm,∴OM=AB=25 cm,
在Rt△OMC中,
OC===7(cm);
(2)∵GH与半圆的切点为E,
∴OE⊥GH,
∵MN∥GH,
∴OE⊥MN,
∵∠ANM=30°,ON=25 cm,
∴OD=ON= cm,
∴操作后水面下降的高度为-7=(cm);
(3)∵OE⊥MN于点D,∠ANM=30°,
∴∠DOB=60°,
∵半圆弧的中点为Q,
∴=,∴∠QOB=90°,
∴∠QOE=30°,∴OF=2EF,
又∵EF2+OE2=OF2,
∴EF=OE=(cm),
的长为=(cm),
∵-π==>0,
∴EF的长>的长.二十四 弧长及扇形面积的计算
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长公式及应用
1.(2023·兰州中考)如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线如图2所示,是一条圆弧,圆弧的半径OA=20 cm,圆心角∠AOB=90°,则的长为 ( )
A.20π cm B.10π cm C.5π cm D.2π cm
2.数学课上,老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心、AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形DAB的面积是 .
3.如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交☉O于点F.
(1)AB与AC的长度有什么关系 请说明理由;
(2)若AB=8,∠BAC=45°,求图中的长.
知识点2 弧长、扇形公式的综合应用
4.(2023·鄂州中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O为BC的中点,以O为圆心,OB长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.5-π B.5-4π
C.5-2π D.10-2π
5.(2023·泰安中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,半径为4,连接OB,OC,OA,若∠CAO=40°,∠ACB=70°,则阴影部分的面积是 .
6.(2024·嘉峪关期末)如图,一根5 m长的绳子,一端拴在90°的围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊(羊只能在草地上活动),求小羊在草地上可活动区域的面积.(结果保留π)
【B层 能力进阶】
7.如图,在半径为6 cm的☉O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3 cm;③扇形OCAB的面积为12π cm2;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是 ( )
A.①③ B.①②③④
C.②③④ D.①③④
8.(2022·恩施州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,☉O为Rt△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为(结果保留π) .
9.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 cm(结果用含π的式子表示).
10.如图,半圆O的直径AB=2,弦CD∥AB,∠CAD=30°,
(1)求弦CD的长;
(2)求阴影部分的面积(结果保留π).
【C层 创新挑战（选做）】
11.(运算能力、推理能力、几何直观)(2023·河北中考)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.
计算:在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作:将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动.如图2.其中,半圆弧的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D.
探究:在图2中.
(2)操作后水面高度下降了多少
(3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小.
