二十五 正多边形与圆
【A层 基础夯实】
知识点1 正多边形的有关概念及计算
1.如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB= (B)
A.30° B.45° C.55° D.60°
2.若☉O的内接正n边形的边长与☉O的半径相等,则n的值为 (C)
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为 (C)
A. B. C.3 D.2
4.如图,多边形ABCDE为☉O内接正五边形,PA与☉O相切于点A,则∠PAB=
36° .
5.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合,AB∥x轴,交y轴于点P.将△OAP绕点O逆时针旋转,每次旋转90°,则第2 024次旋转结束时,点A的坐标为 (1,) .
知识点2 正多边形的性质、判断及画法
6.一个圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角为72°,则该正多边形的边数是 (B)
A.4 B.5 C.6 D.7
7.以下说法正确的有 ②③ (填序号).
①各角相等的圆内接多边形是正多边形;
②各边相等的圆内接多边形是正多边形;
③每个角都是108°,且各边都相等的多边形是正五边形;
④正多边形都是轴对称图形,也都是中心对称图形.
8.如图,正五边形ABCDE,连接对角线AC,BD,设AC与BD相交于O.
(1)写出图中所有的等腰三角形;
(2)判断四边形AODE的形状,并说明理由.
【解析】(1)图中的等腰三角形有:△ABO,△ABC,△BCO,△BCD,△DCO;
(2)四边形AODE是菱形;理由如下:
∵正五边形ABCDE内接于圆,
∴∠BDE=××360°=72°,∠E=××360°=108°,
∴∠BDE+∠E=180°,DO∥AE;
同理可证:AO∥DE,而AE=DE,
∴四边形AODE是菱形.
【B层 能力进阶】
9.(2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为 (A)
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
10.(2023·德阳中考)已知一个正多边形的边心距与边长之比为,则这个正多边形的边数是(B)
A.4 B.6 C.7 D.8
11.(2024·菏泽质检)有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为8,则正八边形ABCDEFGH的面积为 (A)
A.32 B.40 C.24 D.30
12.(2023·河北中考)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中:
(1)∠α= °;
(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为多少 (结果保留根号).
【解析】(1)如图,
∵多边形是正六边形,
∴∠ACB=60°,
∵BC∥直线l,
∴∠ABC=90°,
∴α=30°;
答案:30
(2)取中间正六边形的中心为O,
如图所示,由题意得,AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,
∴四边形ABFG为矩形,
∴AB=GF,
∵∠BAC=∠FGH,∠ABC=∠GFH=90°,
∴△ABC≌△GFH(SAS),
∴BC=FH,
在Rt△PDE中,DE=1,PE=,
由图知AG=BF=2PE=2,OM=PE=,
∵BC=(BF-CH)=-1,
∴AC=2BC=2-2,
∴AB==3-,
∴BD=2-AB=-1,
∵DE=×2=1,
∴BE=BD+DE=,
∴ON=OM+BE=2.
∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(应用意识、运算能力、推理能力)如图,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD和正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
(1)求图1中∠MON的度数;
(2)图2中,∠MON的度数是 ;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)
【解析】(1)连接OB,OC.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵O是正三角形ABC外接圆的圆心,
∴CO,BO分别是∠ACB,∠ABC的平分线,
∴∠OBA=∠CBO=∠OCB=∠OCA.
又∵BM=CN,OB=OC,
∴△OMB≌△ONC(SAS),
∴∠BOM=∠CON,
∴∠MON=∠BOC.
∵∠BAC=60°,
∴∠BOC=120°.
∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90°.
(3)∠MON=.二十五 正多边形与圆
【A层 基础夯实】
知识点1 正多边形的有关概念及计算
1.如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB= ( )
A.30° B.45° C.55° D.60°
2.若☉O的内接正n边形的边长与☉O的半径相等,则n的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为 ( )
A. B. C.3 D.2
4.如图,多边形ABCDE为☉O内接正五边形,PA与☉O相切于点A,则∠PAB=
.
5.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合,AB∥x轴,交y轴于点P.将△OAP绕点O逆时针旋转,每次旋转90°,则第2 024次旋转结束时,点A的坐标为 .
知识点2 正多边形的性质、判断及画法
6.一个圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角为72°,则该正多边形的边数是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.以下说法正确的有 (填序号).
①各角相等的圆内接多边形是正多边形;
②各边相等的圆内接多边形是正多边形;
③每个角都是108°,且各边都相等的多边形是正五边形;
④正多边形都是轴对称图形,也都是中心对称图形.
8.如图,正五边形ABCDE,连接对角线AC,BD,设AC与BD相交于O.
(1)写出图中所有的等腰三角形;
(2)判断四边形AODE的形状,并说明理由.
【B层 能力进阶】
9.(2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为 ( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
10.(2023·德阳中考)已知一个正多边形的边心距与边长之比为,则这个正多边形的边数是( )
A.4 B.6 C.7 D.8
11.(2024·菏泽质检)有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为8,则正八边形ABCDEFGH的面积为 ( )
A.32 B.40 C.24 D.30
12.(2023·河北中考)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中:
(1)∠α= °;
(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为多少 (结果保留根号).
【C层 创新挑战（选做）】
13.(应用意识、运算能力、推理能力)如图,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD和正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
(1)求图1中∠MON的度数;
(2)图2中,∠MON的度数是 ;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)
