二十六 一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1 一元二次方程的概念
1.在下列方程中,属于一元二次方程的是 (A)
A.4x2=81 B.2x2-1=3y
C.+=2 D.2x2-2x(x+7)=0
2.已知关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程,则m的取值范围是 (A)
A.m≠-1 B.m≠1
C.m>-1 D.任意实数
3.方程(n-3)x|n|-1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程,n= -3 .
知识点2 一元二次方程的一般形式
4.一元二次方程4x2+5x-81=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 (D)
A.4,5,81 B.4x2,5x,-81
C.4,5,0 D.4,5,-81
5.把方程=化成一元二次方程的一般形式,其中正确的是 (B)
A.5(x+2)=3(x2-x) B.3x2-8x-10=0
C.5x+10=3x2-3x D.3x2+8x+10=0
6.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若一元二次方程(m+2)x2+2x+m2-4=0的常数项为0,则m= 2 .
知识点3 一元二次方程的根
7.下列是方程3x2+x-2=0的解的是 (A)
A.x=-1 B.x=1
C.x=-2 D.x=2
8.(2024·佛山质检)若a是方程2x2-4x+1=0的一个根,则式子2 023-2a2+4a的值为
2 024 .
知识点4 一元二次方程根的近似值的估计
9.根据下表中的数据,猜想方程x2+2x-100=0的一个根大约是 (C)
x 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07
x2+2x-100 -0.399 -0.198 0.003 0.204 0.405
A.9.025 B.9.035
C.9.045 D.9.055
10.(2024·聊城期末)在探究一元二次方程x2+12x-15=0的近似解时,小明所在的小组采用了赋值法,计算结果如表:
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
小组同学说,他们发现了该方程的一个近似解.这个近似解的十分位是 1 .
【B层 能力进阶】
11.下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0;
②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=0;④(a2+1)x2-a=0;⑤3x2+k=x-1.一元二次方程的个数
是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.若关于x的一元二次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含x的一次项,则m的值是 (A)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
13.如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为20 m2的矩形空地.设原正方形空地的边长为x m,则下面所列方程正确的
是 (A)
A.(x-3)(x-2)=20
B.(x+3)(x+2)=20
C.x2-3x-2x=20
D.x2-3×2=20
14.一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是-1,且a,b,c满足c=+-5,则a+b+c= -2 .
15.(2024·青岛期中)生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是 x2-x-182=0 .(化为一般形式)
16.(新定义)定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“和谐”方程;如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程,如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程,则mn= 0 .
17.已知关于x的方程(m2-9)x2+(m+3)x-5=0.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程 并求出此时方程的解.
(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程 并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
【解析】(1)根据一元一次方程的定义可知:m2-9=0,m+3≠0,解得m=3,
此时化简方程为:6x-5=0,
解得x=;
(2)根据一元二次方程的定义可知:m2-9≠0,解得m≠±3.该方程的二次项系数为m2-9(m≠±3);一次项系数为m+3;常数项为-5.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2024·菏泽质检)在实数范围内定义一种运算“*”,其运算法则为a*b=a2-ab.如:2*1=22-2×1=2.根据这个法则,
(1)计算:3*2= ;
(2)判断(t+2)*(2t+1)=0是否为一元二次方程;
(3)判断方程(x+2)*1=3的根是否为x1=-3,x2=4,并说明理由.
【解析】(1)根据题中的新定义得3*2=32-3×2=9-6=3.
答案:3
(2)已知等式变形得(t+2)2-(t+2)(2t+1)=0,
整理得t2+t-2=0,是一元二次方程;
(3)方程变形得(x+2)2-(x+2)=3,
整理得x2+4x+4-x-2-3=0,即x2+3x-1=0,
∵x1=-3时,(-3)2+3×(-3)-1=-1≠0,所以x1=-3不是方程的根;
∵x2=4时,42+3×4-1=27≠0,所以x2=4不是方程的根,故方程(x+2)*1=3的根不是x1=-3和x2=4.二十六 一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1 一元二次方程的概念
1.在下列方程中,属于一元二次方程的是 ( )
A.4x2=81 B.2x2-1=3y
C.+=2 D.2x2-2x(x+7)=0
2.已知关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程,则m的取值范围是 ( )
A.m≠-1 B.m≠1
C.m>-1 D.任意实数
3.方程(n-3)x|n|-1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程,n= .
知识点2 一元二次方程的一般形式
4.一元二次方程4x2+5x-81=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( )
A.4,5,81 B.4x2,5x,-81
C.4,5,0 D.4,5,-81
5.把方程=化成一元二次方程的一般形式,其中正确的是 ( )
A.5(x+2)=3(x2-x) B.3x2-8x-10=0
C.5x+10=3x2-3x D.3x2+8x+10=0
6.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若一元二次方程(m+2)x2+2x+m2-4=0的常数项为0,则m= .
知识点3 一元二次方程的根
7.下列是方程3x2+x-2=0的解的是 ( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=-2 D.x=2
8.(2024·佛山质检)若a是方程2x2-4x+1=0的一个根,则式子2 023-2a2+4a的值为
.
知识点4 一元二次方程根的近似值的估计
9.根据下表中的数据,猜想方程x2+2x-100=0的一个根大约是 ( )
x 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07
x2+2x-100 -0.399 -0.198 0.003 0.204 0.405
A.9.025 B.9.035
C.9.045 D.9.055
10.(2024·聊城期末)在探究一元二次方程x2+12x-15=0的近似解时,小明所在的小组采用了赋值法,计算结果如表:
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
小组同学说,他们发现了该方程的一个近似解.这个近似解的十分位是 .
【B层 能力进阶】
11.下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0;
②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=0;④(a2+1)x2-a=0;⑤3x2+k=x-1.一元二次方程的个数
是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.若关于x的一元二次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含x的一次项,则m的值是 ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
13.如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为20 m2的矩形空地.设原正方形空地的边长为x m,则下面所列方程正确的
是 ( )
A.(x-3)(x-2)=20
B.(x+3)(x+2)=20
C.x2-3x-2x=20
D.x2-3×2=20
14.一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是-1,且a,b,c满足c=+-5,则a+b+c= .
15.(2024·青岛期中)生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是 .(化为一般形式)
16.(新定义)定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“和谐”方程;如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程,如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程,则mn= .
17.已知关于x的方程(m2-9)x2+(m+3)x-5=0.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程 并求出此时方程的解.
(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程 并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2024·菏泽质检)在实数范围内定义一种运算“*”,其运算法则为a*b=a2-ab.如:2*1=22-2×1=2.根据这个法则,
(1)计算:3*2= ;
(2)判断(t+2)*(2t+1)=0是否为一元二次方程;
(3)判断方程(x+2)*1=3的根是否为x1=-3,x2=4,并说明理由.
