二十九 用公式法解一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1 一元二次方程的求根公式
1.利用求根公式求3x2+=6x的根时,其中a=3,则b,c的值分别是 ( )
A.,6 B.6,
C.-6, D.-6,-
2.以x=为根的一元二次方程可能是 ( )
A.x2+bx+c=0 B.x2+bx-c=0
C.x2-bx+c=0 D.x2-bx-c=0
3.用公式法解方程x2+4x=2,其中求得b2-4ac的值是 ( )
A.16 B.±4 C.32 D.64
4.下列方程中,以x=为根的是( )
A.x2-5x-c=0 B.x2+5x-c=0
C.x2-5x+4c=0 D.x2+5x+c=0
知识点2 用公式法解一元二次方程
5.(2024·聊城质检)用公式法解方程2x2+5x-1=0,所得根正确的是 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
6.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是 ( )
A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0 D.p2-4q<0
7.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下:
∵a=1,b=-4,c=-2(第一步),
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24(第二步),
∴x=(第三步),
∴x1=-2+,x2=-2-(第四步).
小明解答过程开始出错的步骤是 ( )
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
8.(2024·潍坊模拟)一元二次方程(2x+3)(x-1)=1的根为 x1=,x2= .
9.用公式法解下列方程:
(1)x2-8x-5=0;
(2)x(x-4)+8=0;
(3)(3x-5)(x-2)=1;
(4)x(x+6)=2(x-8).
【B层 能力进阶】
10.若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是 ( )
A.x1=,x2=
B.x1=,x2=
C.x1=,x2=
D.以上答案都不对
11.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对α的估计正确的是 ( )
A.0<α<1
B.1<α<1.5
C.1.5<α<2
D.2<α<3
12.若代数式x2-6x+5的值是12,则x的值为 ( )
A.7或-1
B.1或-5
C.-1或-5
D.不能确定
13.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1=,x2=,那么a= .
14.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=a2-2ab,如果x※1=1,那么x= .
15.李伟同学在解关于x的一元二次方程x2-3x+m=0时,误将-3x看作+3x,结果解得x1=1,x2=-4,则原方程的解为 .
16.(2024·重庆期末)若关于x的一元二次方程x2-ax+1=0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程(a-2)x2+bx+1=0的根,则关于x的方程(a-2)x2+bx+1=0的根为 .
17.(2024·菏泽期末)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是1,且系数a,b满足等式+=b+5.
(1)求a,b,c的值;
(2)解关于x的方程:cx2+bx+a-1=0.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(模型观念、推理能力)用公式法解关于x的方程x2-3mx+2m2-mn-n2=0.(其中m≥0,n≥0)二十九 用公式法解一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1 一元二次方程的求根公式
1.利用求根公式求3x2+=6x的根时,其中a=3,则b,c的值分别是 (C)
A.,6 B.6,
C.-6, D.-6,-
2.以x=为根的一元二次方程可能是 (C)
A.x2+bx+c=0 B.x2+bx-c=0
C.x2-bx+c=0 D.x2-bx-c=0
3.用公式法解方程x2+4x=2,其中求得b2-4ac的值是 (D)
A.16 B.±4 C.32 D.64
4.下列方程中,以x=为根的是(B)
A.x2-5x-c=0 B.x2+5x-c=0
C.x2-5x+4c=0 D.x2+5x+c=0
知识点2 用公式法解一元二次方程
5.(2024·聊城质检)用公式法解方程2x2+5x-1=0,所得根正确的是 (A)
A.x= B.x=
C.x= D.x=
6.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是 (A)
A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0 D.p2-4q<0
7.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下:
∵a=1,b=-4,c=-2(第一步),
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24(第二步),
∴x=(第三步),
∴x1=-2+,x2=-2-(第四步).
小明解答过程开始出错的步骤是 (C)
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
8.(2024·潍坊模拟)一元二次方程(2x+3)(x-1)=1的根为 x1=,x2= .
9.用公式法解下列方程:
(1)x2-8x-5=0;
(2)x(x-4)+8=0;
(3)(3x-5)(x-2)=1;
(4)x(x+6)=2(x-8).
【解析】(1)这里a=1,b=-8,c=-5,
∵b2-4ac=64+20=84,
∴x==4±,
即x1=4+,x2=4-;
(2)方程整理,得x2-4x+8=0,
这里a=1,b=-4,c=8,
∵b2-4ac=32-32=0,
∴x=-=2,
即x1=x2=2;
(3)方程整理得:3x2-11x+9=0,
这里a=3,b=-11,c=9,
∵b2-4ac=121-108=13,∴x=,
即x1=,x2=;
(4)方程整理得:x2+4x+16=0,
这里a=1,b=4,c=16,
∵b2-4ac=16-64=-48<0,
∴此方程无实数根.
【B层 能力进阶】
10.若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是 (B)
A.x1=,x2=
B.x1=,x2=
C.x1=,x2=
D.以上答案都不对
11.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对α的估计正确的是 (C)
A.0<α<1
B.1<α<1.5
C.1.5<α<2
D.2<α<3
12.若代数式x2-6x+5的值是12,则x的值为 (A)
A.7或-1
B.1或-5
C.-1或-5
D.不能确定
13.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1=,x2=,那么a= 1 .
14.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=a2-2ab,如果x※1=1,那么x= 1+或1- .
15.李伟同学在解关于x的一元二次方程x2-3x+m=0时,误将-3x看作+3x,结果解得x1=1,x2=-4,则原方程的解为 x1=4,x2=-1 .
16.(2024·重庆期末)若关于x的一元二次方程x2-ax+1=0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程(a-2)x2+bx+1=0的根,则关于x的方程(a-2)x2+bx+1=0的根为 x1=-1,x2= .
17.(2024·菏泽期末)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是1,且系数a,b满足等式+=b+5.
(1)求a,b,c的值;
(2)解关于x的方程:cx2+bx+a-1=0.
【解析】(1)∵a-2≥0且2-a≥0,
∴a=2,∴b+5=0,解得b=-5;
把x=1代入方程ax2+bx+c=0得a+b+c=0,∴2-5+c=0,解得c=3;
(2)方程cx2+bx+a-1=0变形为3x2-5x+1=0,
∵(-5)2-4×3×1=13,∴x=,
∴x1=,x2=.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(模型观念、推理能力)用公式法解关于x的方程x2-3mx+2m2-mn-n2=0.(其中m≥0,n≥0)
【解析】这里a=1,b=-3m,c=2m2-mn-n2.
∵b2-4ac=(-3m)2-4×1×(2m2-mn-n2)=m2+4mn+4n2=(m+2n)2≥0,m≥0,n≥0,
∴x==,即x1=2m+n,x2=m-n.
