三十 用因式分解法解一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.(新视角)(2024·台州期中)在解一元二次方程x2+x-6=0时,运用因式分解法将其变为(x+3)(x-2)=0,即x+3=0或x-2=0,这个过程中蕴含的数学思想是 ( )
A.类比 B.数形结合
C.从特殊到一般 D.转化
2.用因式分解法解一元二次方程3x(x-1)=2x-2,因式分解后,结果正确的是 ( )
A.(x-1)(3x+2)=0
B.(x-1)(3x-2)=0
C.3x(x-2)=0
D.3x(x+2)=0
3.代数式x+1与x-4的积是x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的根为 ( )
A.x1=-1,x2=-4 B.x1=-1,x2=4
C.x1=1,x2=4 D.x1=1,x2=-4
4.若实数x,y满足(x+y+3)(x+y-1)=0,则x+y的值为 .
5.用因式分解法解下列一元二次方程:
(1)x2=-3x
(2)x2-6x+8=0
(3)4(x+3)2=25(x-2)2
(4)(2-3x)+(3x-2)2=0.
知识点2 一元二次方程解法的恰当选择
6.方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正确解法是 ( )
A.直接开方得3(x+1)=2(x-1)
B.化为一般形式13x2+5=0
C.因式分解得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0
D.直接得x+1=0或x-1=0
7.(2023·聊城质检)小明用直接降次法解方程(x-4)2=(5-2x)2时,得出一元一次方程x-4=5-2x,则他漏掉的另一个方程为 .
8.用适当的方法解下列方程:
(1)x2+2x-399=0;
(2)x(x-2)+x-2=0;
(3)(3x+2)(x+3)=8x+15.
【B层 能力进阶】
9.下列关于一元二次方程x2-x-2=0的说法中,正确的是 ( )
A.既可以用直接开平方法解,也可以用配方法解,还可以用公式法解
B.既可以用配方法解,也可以用公式法解,还可以用因式分解法解
C.只可以用公式法解,不可以用配方法解
D.只可以用配方法解,不可以用公式法解
10.(易错警示题·忽视隐含条件)某节数学课上,老师让学生解关于x的方程x(x+5)=2(x+5),下面是三位同学的解答过程:
小逸 两边同时除以(x+5),得x=2.
小明 整理得x2+3x=10, 配方得x2+3x+=10+, ∴(x+)2=, ∴x+=±,∴x1=2,x2=-5.
小琛 移项得x(x+5)-2(x+5)=0, ∴(x+5)(x-2)=0, ∴x+5=0或x-2=0, ∴x1=-5.x2=2.
下列选项中说法正确的是 ( )
A.只有小明的解法正确
B.只有小琛的解法正确
C.只有小逸的解法错误
D.小逸和小琛的解法都是错误的
11.如果关于x的方程3x2+mx-1=0的两根分别是x1=-1,x2=,那么二次三项式3x2+mx-1分解因式的结果是 .
12.若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,则x的值为 .
13.一个菱形的边长是方程x2-8x+15=0的一个根,其中一条对角线长为8,则该菱形的面积为 .
14.(2023·杭州中考)设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
【C层 创新挑战(选做)】
15.当x为何值时,代数式x2-13x+12的值与代数式4x2+18的值相等 三十 用因式分解法解一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.(新视角)(2024·台州期中)在解一元二次方程x2+x-6=0时,运用因式分解法将其变为(x+3)(x-2)=0,即x+3=0或x-2=0,这个过程中蕴含的数学思想是 (D)
A.类比 B.数形结合
C.从特殊到一般 D.转化
2.用因式分解法解一元二次方程3x(x-1)=2x-2,因式分解后,结果正确的是 (B)
A.(x-1)(3x+2)=0
B.(x-1)(3x-2)=0
C.3x(x-2)=0
D.3x(x+2)=0
3.代数式x+1与x-4的积是x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的根为 (B)
A.x1=-1,x2=-4 B.x1=-1,x2=4
C.x1=1,x2=4 D.x1=1,x2=-4
4.若实数x,y满足(x+y+3)(x+y-1)=0,则x+y的值为 -3或1 .
5.用因式分解法解下列一元二次方程:
(1)x2=-3x
(2)x2-6x+8=0
(3)4(x+3)2=25(x-2)2
(4)(2-3x)+(3x-2)2=0.
【解析】(1)∵x2+3x=0,
∴x(x+3)=0,则x=0或x+3=0,
解得:x=0或x=-3;
(2)∵(x-2)(x-4)=0,
∴x-2=0或x-4=0,解得:x=2或x=4;
(3)∵4(x+3)2-25(x-2)2=0,
即[2(x+3)]2-[5(x-2)]2=0,
∴[2(x+3)+5(x-2)][2(x+3)-5(x-2)]=0,即(7x-4)(-3x+16)=0,
则7x-4=0或-3x+16=0,
解得:x=或x=;
(4)∵(2-3x)(1+2-3x)=0,
∴2-3x=0或3-3x=0,
解得:x=或x=1.
知识点2 一元二次方程解法的恰当选择
6.方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正确解法是 (C)
A.直接开方得3(x+1)=2(x-1)
B.化为一般形式13x2+5=0
C.因式分解得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0
D.直接得x+1=0或x-1=0
7.(2023·聊城质检)小明用直接降次法解方程(x-4)2=(5-2x)2时,得出一元一次方程x-4=5-2x,则他漏掉的另一个方程为 x-4=-(5-2x) .
8.用适当的方法解下列方程:
(1)x2+2x-399=0;
(2)x(x-2)+x-2=0;
(3)(3x+2)(x+3)=8x+15.
【解析】(1)移项,得x2+2x=399.
配方,得x2+2x+1=399+1,即(x+1)2=400,
直接开平方,得x+1=20或x+1=-20,
解得x1=19,x2=-21;
(2)分解因式,得(x-2)(x+1)=0.
即x-2=0或x+1=0,
解得x1=2,x2=-1;
(3)(3x+2)(x+3)=8x+15,
方程整理得:x2+x-3=0,
a=1,b=1,c=-3,
∴b2-4ac=12-4×1×(-3)=13,
∴x=;
解得x1=,x2=.
【B层 能力进阶】
9.下列关于一元二次方程x2-x-2=0的说法中,正确的是 (B)
A.既可以用直接开平方法解,也可以用配方法解,还可以用公式法解
B.既可以用配方法解,也可以用公式法解,还可以用因式分解法解
C.只可以用公式法解,不可以用配方法解
D.只可以用配方法解,不可以用公式法解
10.(易错警示题·忽视隐含条件)某节数学课上,老师让学生解关于x的方程x(x+5)=2(x+5),下面是三位同学的解答过程:
小逸 两边同时除以(x+5),得x=2.
小明 整理得x2+3x=10, 配方得x2+3x+=10+, ∴(x+)2=, ∴x+=±,∴x1=2,x2=-5.
小琛 移项得x(x+5)-2(x+5)=0, ∴(x+5)(x-2)=0, ∴x+5=0或x-2=0, ∴x1=-5.x2=2.
下列选项中说法正确的是 (C)
A.只有小明的解法正确
B.只有小琛的解法正确
C.只有小逸的解法错误
D.小逸和小琛的解法都是错误的
11.如果关于x的方程3x2+mx-1=0的两根分别是x1=-1,x2=,那么二次三项式3x2+mx-1分解因式的结果是 3(x+1)(x-) .
12.若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,则x的值为 3或1 .
13.一个菱形的边长是方程x2-8x+15=0的一个根,其中一条对角线长为8,则该菱形的面积为 24 .
14.(2023·杭州中考)设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
【解析】∵使这个方程有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>0,即b2>4c,∴②③均可.
选②解方程,则这个方程为:x2+3x+1=0,
∴x==,
∴x1=,x2=;
选③解方程,则这个方程为:x2+3x-1=0,
∴x1=,x2=.
【C层 创新挑战(选做)】
15.当x为何值时,代数式x2-13x+12的值与代数式4x2+18的值相等
【解析】根据题意得x2-13x+12=4x2+18,
整理得3x2+13x+6=0,b2-4ac=132-4×3×6=97>0,x=,
解得x1=,x2=,
所以当x为或时,代数式x2-13x+12的值与代数式4x2+18的值相等.
