三十一 一元二次方程根的判别式
【A层 基础夯实】
知识点1 根的判别式与一元二次方程根的情况
1.(2023·广元中考)关于x的一元二次方程2x2-3x+=0根的情况,下列说法中正确的是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2.一元二次方程(x+2)2=x-5的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
3.关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的根的情况是 ( )
A.只有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
4.一元二次方程x2-5x+4=0的根的判别式的值为 .
5.已知关于x的方程x2-2kx+k2=9.
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根为2,试求3k2-12k+2 010的值.
知识点2 根据根的判别式确定字母的取值范围
6.(2023·眉山中考)关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m< B.m>3 C.m≤3 D.m<3
7.(2023·聊城中考)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m≥-1 B.m≤1
C.m≥-1且m≠0 D.m≤1且m≠0
8.小明准备完成题目:解一元二次方程x2-4x+□=0.若“□”表示一个数字,且方程x2-4x+□=0有实数根,则“□”的值可能为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9.关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根.
(1)当x=0是方程的一个根,求m的值;
(2)求m的取值范围.
【B层 能力进阶】
10.(2023·广安中考)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
11.(2023·兰州中考)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)= ( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
12.关于方程x2+4x=c,下列几位同学的说法中,正确的是 ( )
小明:当c<0时,方程没有实数根;
小强:当c=0时,方程有两个相等的实数根;
小新:当c>0时,方程有两个不相等的实数根;
小宇:方程有没有根与c无关.
A.小明 B.小强 C.小新 D.小宇
13.(2024·潍坊模拟)关于x的一元二次方程-x2+(2a-5)x-a2+1=0有两个实数根,则a的最大整数解是 .
14.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根,则一次函数y=mx+m的图象不经过第 象限.
15.(2023·遂宁中考)我们规定:对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是普通的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.
(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;
(2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、模型观念、推理能力)已知 ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形 求出这时菱形的边长;
(2)若AB的长为2,求 ABCD的周长.三十一 一元二次方程根的判别式
【A层 基础夯实】
知识点1 根的判别式与一元二次方程根的情况
1.(2023·广元中考)关于x的一元二次方程2x2-3x+=0根的情况,下列说法中正确的是 (C)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2.一元二次方程(x+2)2=x-5的根的情况是 (B)
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
3.关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的根的情况是 (B)
A.只有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
4.一元二次方程x2-5x+4=0的根的判别式的值为 9 .
5.已知关于x的方程x2-2kx+k2=9.
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根为2,试求3k2-12k+2 010的值.
【解析】(1)Δ=(-2k)2-4(k2-9)=36>0,
所以方程有两个不相等的实数根;
(2)把x=2代入方程得4-4k+k2-9=0,
所以k2-4k=5,所以3k2-12k+2 010=3(k2-4k)+2 010=2 025.
知识点2 根据根的判别式确定字母的取值范围
6.(2023·眉山中考)关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 (D)
A.m< B.m>3 C.m≤3 D.m<3
7.(2023·聊城中考)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 (D)
A.m≥-1 B.m≤1
C.m≥-1且m≠0 D.m≤1且m≠0
8.小明准备完成题目:解一元二次方程x2-4x+□=0.若“□”表示一个数字,且方程x2-4x+□=0有实数根,则“□”的值可能为 (A)
A.4 B.5 C.6 D.7
9.关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根.
(1)当x=0是方程的一个根,求m的值;
(2)求m的取值范围.
【解析】(1)把x=0代入原方程得3m-2=0,
解得m=;
(2)根据题意得Δ=(-2)2-4(3m-2)≥0,
解得m≤1.
【B层 能力进阶】
10.(2023·广安中考)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
11.(2023·兰州中考)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)= (A)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
12.关于方程x2+4x=c,下列几位同学的说法中,正确的是 (C)
小明:当c<0时,方程没有实数根;
小强:当c=0时,方程有两个相等的实数根;
小新:当c>0时,方程有两个不相等的实数根;
小宇:方程有没有根与c无关.
A.小明 B.小强 C.小新 D.小宇
13.(2024·潍坊模拟)关于x的一元二次方程-x2+(2a-5)x-a2+1=0有两个实数根,则a的最大整数解是 1 .
14.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根,则一次函数y=mx+m的图象不经过第 四 象限.
15.(2023·遂宁中考)我们规定:对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是普通的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.
(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;
(2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围.
【解析】(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10;
(2)根据题意得x(mx+1)-m(2x-1)=0,
整理得mx2+(1-2m)x+m=0,
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,
∴Δ=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0,
解得m≤且m≠0.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、模型观念、推理能力)已知 ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形 求出这时菱形的边长;
(2)若AB的长为2,求 ABCD的周长.
【解析】(1)∵ ABCD是菱形,∴AB=AD.
∴方程x2-mx+-=0有两个相等的实根.
∴Δ=(-m)2-4(-)=m2-2m+1=(m-1)2=0,解得m=1.
把m=1代入x2-mx+-=0,
得x2-x+=0.
∴x1=x2=.
∴菱形ABCD的边长是.
(2)若AB的长为2,则x=2是方程x2-mx+-=0的一个根,
把x=2代入方程,得4-2m+-=0,
解得m=.
把m=代入x2-mx+-=0,
得x2-x+1=0.解得x1=2,x2=.
∴AD=.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ ABCD的周长为2×(2+)=5.
