三十二 一元二次方程根与系数的关系
【A层 基础夯实】
知识点1 利用根与系数的关系求代数式的值
1.(2024·天津期末)一元二次方程4x2=5x-1的两根之和与两根之积分别为 (A)
A., B.-,
C., D.-,
2.已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,下列结论错误的是 (D)
A.x1≠x2 B.-2x1=0
C.x1+x2=2 D.x1x2=2
3.(2023·宜昌中考)已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为
1 .
4.若x1,x2是方程2x2-4x-1=0的两根,求下列各式的值:
(1)+;
(2)(x1-x2)2.
【解析】x1+x2=-=2,x1x2=-.
(1)+===-4;
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=22-4×(-)=4+2=6.
知识点2 利用根与系数的关系求字母系数的取值
5.(2023·乐山中考)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为 (C)
A.4 B.8 C.12 D.16
6.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 (B)
A.2 B.0 C.1 D.2或0
7.(2023·达州中考)已知x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根,且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值为 7 .
8.(易错警示题·忽视隐含条件)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1+x2=2-x1x2,求m的值.
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有实数根,
∴b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×m2≥0,
解得m≤.
(2)∵关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个根分别为x1,x2,
∴x1+x2=2m-1,x1·x2=m2.
∵x1+x2=2-x1x2,即2m-1=2-m2,
整理得:m2+2m-3=0,
∴(m+3)(m-1)=0,
解得:m1=-3,m2=1(不合题意,舍去).
答:m的值为-3.
【B层 能力进阶】
9.设a,b是方程x2+x-2 023=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为 (D)
A.2 024 B.2 021 C.2 023 D.2 022
10.(新视野)在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-4,2,小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是4,-3,则原来的方程
是 (B)
A.x2+2x-8=0 B.x2+2x-12=0
C.x2-2x-12=0 D.x2-2x-8=0
11.若一个等腰三角形的一边长为4,另外两边长为x2-12x+m=0的两根,则m的值为 (B)
A.32 B.36 C.32或36 D.不存在
12.(2023·湖北中考)已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实数k= -5 .
13.(2024·潍坊模拟)已知a,b为一元二次方程x2+x+c=0的两个不相等的实数根,则-的值是 1 .
14.设x1,x2是方程x2-2x-11=0的两个根,(+2)(+2)= 177 .
15.已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0的两个实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>+,且m为整数,求m的值.
【解析】(1)根据题意得b2-4ac=(-2)2-4×2(m+1)≥0,解得m≤-,
故实数m的取值范围是m≤-;
(2)根据题意得x1+x2=1,x1x2=,∵4+4x1x2>+,∴4+4x1x2>(x1+x2)2-2x1x2,即4+6x1x2>(x1+x2)2,∴4+6×>1,解得m>-2,∴-2∴整数m的值为-1.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(新定义)(运算能力、推理能力、创新意识)(2024·无锡期中)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,其中一个实数根是另一个实数根的2倍,那么称这样的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是x1=2,x2=4,则方程x2-6x+8=0是“倍根方程”.
(1)方程①x2-x-2=0;②x2-2x+=0;③6x2+x=0;④x2+2x+=0,这几个方程中,是“倍根方程”的是 (填序号即可);
(2)若关于x的方程(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”,求代数式m2+2m+2的值;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(b2-4ac≥0)是“倍根方程”,请直接写出a,b,c的等量关系.
【解析】(1)①x2-x-2=0,
解得x1=2,x2=-1;
②x2-2x+=0,解得x1=,x2=;
③6x2+x=0,解得x1=0,x2=-;
④x2+2x+=0,
解得x1=-2,x2=-4,∴②④是“倍根方程”.
答案:②④
(2)(x-2)(x-m)=0,x-2=0或x-m=0,
解得x1=2,x2=m.
∵(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”,
∴m=4或m=1,
当m=4时,m2+2m+2=16+8+2=26,
当m=1时,m2+2m+2=1+2+2=5,
综上所述,代数式m2+2m+2的值为26或5.
(3)∵一元二次方程ax2+bx+c=0(b2-4ac≥0)是“倍根方程”,
∴设方程的两根分别为t,2t,
根据根与系数的关系得t+2t=-,t·2t=,
∴t=-,
∴2(-)2=,
∴2b2=9ac.4.6 一元二次方程根与系数的关系
【A层 基础夯实】
知识点1 利用根与系数的关系求代数式的值
1.(2024·天津期末)一元二次方程4x2=5x-1的两根之和与两根之积分别为 ( )
A., B.-,
C., D.-,
2.已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,下列结论错误的是 ( )
A.x1≠x2 B.-2x1=0
C.x1+x2=2 D.x1x2=2
3.(2023·宜昌中考)已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为
.
4.若x1,x2是方程2x2-4x-1=0的两根,求下列各式的值:
(1)+;
(2)(x1-x2)2.
知识点2 利用根与系数的关系求字母系数的取值
5.(2023·乐山中考)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为 ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
6.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 ( )
A.2 B.0 C.1 D.2或0
7.(2023·达州中考)已知x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根,且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值为 .
8.(易错警示题·忽视隐含条件)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1+x2=2-x1x2,求m的值.
【B层 能力进阶】
9.设a,b是方程x2+x-2 023=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为 ( )
A.2 024 B.2 021 C.2 023 D.2 022
10.(新视野)在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-4,2,小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是4,-3,则原来的方程
是 ( )
A.x2+2x-8=0 B.x2+2x-12=0
C.x2-2x-12=0 D.x2-2x-8=0
11.若一个等腰三角形的一边长为4,另外两边长为x2-12x+m=0的两根,则m的值为 ( )
A.32 B.36 C.32或36 D.不存在
12.(2023·湖北中考)已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实数k= .
13.(2024·潍坊模拟)已知a,b为一元二次方程x2+x+c=0的两个不相等的实数根,则-的值是 .
14.设x1,x2是方程x2-2x-11=0的两个根,(+2)(+2)= .
15.已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0的两个实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>+,且m为整数,求m的值.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(新定义)(运算能力、推理能力、创新意识)(2024·无锡期中)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,其中一个实数根是另一个实数根的2倍,那么称这样的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是x1=2,x2=4,则方程x2-6x+8=0是“倍根方程”.
(1)方程①x2-x-2=0;②x2-2x+=0;③6x2+x=0;④x2+2x+=0,这几个方程中,是“倍根方程”的是 (填序号即可);
(2)若关于x的方程(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”,求代数式m2+2m+2的值;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(b2-4ac≥0)是“倍根方程”,请直接写出a,b,c的等量关系.
