三十三 一元二次方程的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 几何图形的面积问题
1.(2023·哈尔滨中考)为了改善居民生活环境,云宁小区对一块矩形空地进行绿化,这块空地的长比宽多6米,面积为720平方米,设矩形空地的长为x米,根据题意,所列方程正确的是 (A)
A.x(x-6)=720 B.x(x+6)=720
C.x(x-6)=360 D.x(x+6)=360
2.直角三角形两条直角边的和为7,面积是6,则斜边长是 (B)
A. B.5 C. D.7
3.(2024·绵阳期末)如图所示,某市世纪广场有一块长方形绿地长18 m,宽15 m,在绿地中开辟三条道路后,剩余绿地的面积为224 m2,则图中x的值为 1 .
4.(易错警示题·隐含条件未挖掘)某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为240 m2的矩形试验田用来种植蔬菜.如图,试验田一面靠墙,墙长35 m,另外三面用51 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m宽的铁制小门,求试验田垂直于墙的一边AB的长.
【解析】设试验田垂直于墙的一边AB的长为x m,则BC边的长为(51+1-2x)m,
由题意得:x(51+1-2x)=240,
整理得:x2-26x+120=0,
解得:x1=6,x2=20,
当x=6时,51+1-2x=51+1-2×6=40(m)>35 m,不合题意,舍去;
当x=20时,51+1-2x=51+1-2×20=12(m)<35 m,符合题意.
答:试验田垂直于墙的一边AB的长为20 m.
知识点2 销售利润问题
5.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折”(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x折,则有 (C)
A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320
C.500()2=320 D.500(1-)2=320
6.原价为20元/盒的商品,若售价为36元/盒,则每天可卖出40盒,经市场调查发现,若每盒下调1元,平均每天就可以多销售10盒,要使每天的利润达到750元,应将每盒的售价下调 1或11 元.
7.(2024·泉州期中)泉州闽台缘博物馆以每件20元的批发价进了一批纪念品,在国庆期间让馆内多间商店销售,这些商店经第一天销售调查可知:每件定价30元,每天能卖出5 000件,若每件定价上涨1元,其销售量将减少100件.
(1)若每件纪念品售价上涨5元,这些商店每天能卖出 件.
(2)这些商店为了实现平均每日共有80 000元的销售利润,并使消费者得到实惠,每件售价应定为多少元
【解析】(1)由题意得:5 000-5×100=4 500(件).
答案:4 500
(2)设售价上涨x元,则每件的销售利润为(30-20+x)元,售价为(30+x)元,日销售量为(5 000-100x)件,
由题意得:(30-20+x)(5 000-100x)=80 000,
整理得:x2-40x+300=0,
解得:x1=10,x2=30(不符合题意,舍去),
∴30+x=30+10=40.
答:每件售价应定为40元.
【B层 能力进阶】
8.如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 2 cm.
9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,则P,Q分别从A,B同时出发,经过 2或4 s,△PBQ的面积等于8 cm2.
10.如图,利用一面墙(墙长20米),用总长度为43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍ABCD,且中间留两个1米的小门,设篱笆BC的长为x米.
(1)AB= 米.(用含x的代数式表示)
(2)若矩形鸡舍ABCD的面积为150平方米,求篱笆BC的长.
(3)矩形鸡舍ABCD的面积是否有可能达到210平方米 若有可能,求出相应x的值;若不可能,则说明理由.
【解析】(1)由题意知篱笆BC的长为x米,
∵篱笆的全长为43米,且中间留两个1米的小门,∴AB=43+2-3x=(45-3x)米.
答案:(45-3x)
(2)依题意,得:(45-3x)x=150,
整理,得:x2-15x+50=0,解得:x1=5,x2=10.
当x=5时,AB=45-3x=30>20,不合题意,舍去;
当x=10时,AB=45-3x=15,符合题意.
∴篱笆BC的长为10米.
(3)不可能,理由如下:
依题意,得:(45-3x)x=210,
整理得:x2-15x+70=0,
∵Δ=(-15)2-4×1×70=-55<0,
∴方程没有实数根,∴矩形鸡舍ABCD的面积不可能达到210平方米.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念,运算能力)(2024·青岛期中)第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在杭州举行,其吉祥物“江南忆”为一组机器人,这组机器人分别命名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”.而由它们组成的“江南忆”毛绒玩具套件,已成为杭州店销人气款.
某商场经销这种玩具套件,每套成本为55元.经市场调研发现,该套件平均每月的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系,其中部分对应值如表所示:
销售单价x(元) 60 66 70 72 86
月销售量y(件) 300 276 260 252 196
(1)求y与x的关系式;
(2)物价部门规定该种玩具套件的销售单价不能超过95元,该商场要想使这种商品的销售利润平均每月达到6 300元,套件的销售单价应定为多少元
(3)该套件平均每月的销售利润可能是6 500元吗 请说明理由.
【解析】(1)设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0),则,解得:,
∴y与x的关系式为y=-4x+540;
(2)由题意得:(x-55)(-4x+540)=6 300,
整理得:x2-190x+9 000=0,
解得:x1=90,x2=100(不合题意,舍去),
答:套件的销售单价应定为90元;
(3)该套件平均每月的销售利润不可能是6 500元,理由如下:
由题意得:(x-55)(-4x+540)=6 500,
整理得:x2-190x+9 050=0,
∵Δ=(-190)2-4×1×9 050=-100<0,
∴原方程没有实数根,∴该套件平均每月的销售利润不可能是6 500元.三十三 一元二次方程的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 几何图形的面积问题
1.(2023·哈尔滨中考)为了改善居民生活环境,云宁小区对一块矩形空地进行绿化,这块空地的长比宽多6米,面积为720平方米,设矩形空地的长为x米,根据题意,所列方程正确的是 ( )
A.x(x-6)=720 B.x(x+6)=720
C.x(x-6)=360 D.x(x+6)=360
2.直角三角形两条直角边的和为7,面积是6,则斜边长是 ( )
A. B.5 C. D.7
3.(2024·绵阳期末)如图所示,某市世纪广场有一块长方形绿地长18 m,宽15 m,在绿地中开辟三条道路后,剩余绿地的面积为224 m2,则图中x的值为 .
4.(易错警示题·隐含条件未挖掘)某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为240 m2的矩形试验田用来种植蔬菜.如图,试验田一面靠墙,墙长35 m,另外三面用51 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m宽的铁制小门,求试验田垂直于墙的一边AB的长.
知识点2 销售利润问题
5.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折”(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x折,则有 ( )
A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320
C.500()2=320 D.500(1-)2=320
6.原价为20元/盒的商品,若售价为36元/盒,则每天可卖出40盒,经市场调查发现,若每盒下调1元,平均每天就可以多销售10盒,要使每天的利润达到750元,应将每盒的售价下调 元.
7.(2024·泉州期中)泉州闽台缘博物馆以每件20元的批发价进了一批纪念品,在国庆期间让馆内多间商店销售,这些商店经第一天销售调查可知:每件定价30元,每天能卖出5 000件,若每件定价上涨1元,其销售量将减少100件.
(1)若每件纪念品售价上涨5元,这些商店每天能卖出 件.
(2)这些商店为了实现平均每日共有80 000元的销售利润,并使消费者得到实惠,每件售价应定为多少元
【B层 能力进阶】
8.如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm.
9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,则P,Q分别从A,B同时出发,经过 s,△PBQ的面积等于8 cm2.
10.如图,利用一面墙(墙长20米),用总长度为43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍ABCD,且中间留两个1米的小门,设篱笆BC的长为x米.
(1)AB= 米.(用含x的代数式表示)
(2)若矩形鸡舍ABCD的面积为150平方米,求篱笆BC的长.
(3)矩形鸡舍ABCD的面积是否有可能达到210平方米 若有可能,求出相应x的值;若不可能,则说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念,运算能力)(2024·青岛期中)第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在杭州举行,其吉祥物“江南忆”为一组机器人,这组机器人分别命名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”.而由它们组成的“江南忆”毛绒玩具套件,已成为杭州店销人气款.
某商场经销这种玩具套件,每套成本为55元.经市场调研发现,该套件平均每月的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系,其中部分对应值如表所示:
销售单价x(元) 60 66 70 72 86
月销售量y(件) 300 276 260 252 196
(1)求y与x的关系式;
(2)物价部门规定该种玩具套件的销售单价不能超过95元,该商场要想使这种商品的销售利润平均每月达到6 300元,套件的销售单价应定为多少元
(3)该套件平均每月的销售利润可能是6 500元吗 请说明理由.三十四 一元二次方程的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 变化率问题
1.(2023·广西中考)国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为 (B)
A.3.2(1-x)2=3.7 B.3.2(1+x)2=3.7
C.3.7(1-x)2=3.2 D.3.7(1+x)2=3.2
2.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程 (D)
A.2.25%(1-2x)=1.21%
B.1.21%(1+2x)=2.25%
C.1.21%(1+x)2=2.25%
D.2.25%(1-x)2=1.21%
3.某药品原价每盒25元,为了响应国家解决老百姓看病贵的号召,经过连续两次降价,现在售价为每盒16元,则该药品平均每次降价的百分率是 20% .
4.刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月到4月,每个月盈利的增长率相同.
(1)求每个月盈利的增长率;
(2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元.
【解析】(1)设每个月盈利的增长率为x,依题意得:6 400(1+x)2=8 100,
解得:x1=0.125=12.5%,x2=-2.125(不合题意,舍去).
答:每个月盈利的增长率为12.5%.
(2)8 100×(1+12.5%)=8 100×1.125=9 112.5(元).
答:按照这个增长率,估计这家商店5月份的盈利将达到9 112.5元.
知识点2 数字问题及其他
5.有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242个人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则x满足的方程是 (C)
A.(1+x)2=242
B.(2+x)2=242
C.2(1+x)2=242
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=242
6.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了21条航线,则这个航空公司共有飞机场 (D)
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
7.(2024·聊城模拟)两个相邻奇数的积为195,若设较大的奇数为x,则可列方程为 (D)
A.x(x+2)=195 B.(2x+1)(2x-1)=195
C.x(x+1)=195 D.x(x-2)=195
8.小明在计算某数的平方时,将这个数的平方误看成它的2倍,使答案少了35,则这个数为 -5或7 .
9.一个两位数等于其各位数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2.求这个两位数.
【解析】设这个数的个位数字为x,则十位数字为(x-2),
由题意得,10(x-2)+x=3(x-2)x.
解得x=(舍去)或x=4,
所以这个两位数为24.
【B层 能力进阶】
10.某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆.如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为x,那么可列方程是 (D)
A.20(1+2x)=31.2
B.20(1+2x)-20=31.2
C.20(1+x)2=31.2
D.20(1+x)2-20=31.2
11.(2024·上海期末)某工厂购买的原材料的单价从前年开始进行了调整.如图,l1,l2分别表示该工厂前年和今年采购原材料的总价y(万元)与数量x(吨)之间的关系,请根据函数图象提供的信息解答:如果该原材料的单价从前年开始,每年的增长率都相同,那么这个增长率是 25% .
12.某班在举行图书共享仪式上互赠图书,每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本,全班共互赠了1 260本图书.设全班共有x名同学,依题意,可列出方程为 (A)
A.x(x-1)=1 260 B.x(x+1)=1 260
C.2x(x-1)=1 260 D.2x(x+1)=1 260
13.为了宣传垃圾分类,小王写了一封倡议书,用微博转发的方式传播,他设计了如下的转发规则:将倡议书发表在自己的微博上,然后邀请x个好友转发,每个好友转发之后,又邀请x个互不相同的好友转发,已知经过两轮转发后,共有111个人参与了本次活动.
(1)x的值是多少
(2)再经过几轮转发后,参与人数会超过10 000人
【解析】(1)依题意,得1+x+x2=111,
整理,得x2+x-110=0,
解得x1=10,x2=-11(不合题意,舍去).
即x的值为10.
(2)三轮转发之后,参与人数为1+10+100+1 000=1 111(人),
四轮转发之后,参与人数为1+10+100+1 000+10 000=11 111(人).
∵11 111>10 000,∴再经过两轮转发后,参与人数会超过10 000人.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(抽象能力、模型观念、推理能力)在一次象棋比赛中,每两个选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分,平局每个选手各记1分.今有4个人统计这次比赛中全部得分的总数,由于有的人粗心,其数据各不相同,分别为1 979,1 980,1 984,1 985.经核实,其中有一人统计无误,则这次比赛共有多少名选手参加
【解析】设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为2×=n(n-1)分.
显然(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1 979,1 984,1 985,
∴总分只能是1 980,
∴由n(n-1)=1 980,得n2-n-1 980=0,
解得n1=45,n2=-44(舍去).
答:参加比赛的选手共有45人.三十四 一元二次方程的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 变化率问题
1.(2023·广西中考)国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为 ( )
A.3.2(1-x)2=3.7 B.3.2(1+x)2=3.7
C.3.7(1-x)2=3.2 D.3.7(1+x)2=3.2
2.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程 ( )
A.2.25%(1-2x)=1.21%
B.1.21%(1+2x)=2.25%
C.1.21%(1+x)2=2.25%
D.2.25%(1-x)2=1.21%
3.某药品原价每盒25元,为了响应国家解决老百姓看病贵的号召,经过连续两次降价,现在售价为每盒16元,则该药品平均每次降价的百分率是 .
4.刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月到4月,每个月盈利的增长率相同.
(1)求每个月盈利的增长率;
(2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元.
知识点2 数字问题及其他
5.有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242个人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则x满足的方程是 ( )
A.(1+x)2=242
B.(2+x)2=242
C.2(1+x)2=242
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=242
6.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了21条航线,则这个航空公司共有飞机场 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
7.(2024·聊城模拟)两个相邻奇数的积为195,若设较大的奇数为x,则可列方程为 ( )
A.x(x+2)=195 B.(2x+1)(2x-1)=195
C.x(x+1)=195 D.x(x-2)=195
8.小明在计算某数的平方时,将这个数的平方误看成它的2倍,使答案少了35,则这个数为 .
9.一个两位数等于其各位数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2.求这个两位数.
【B层 能力进阶】
10.某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆.如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为x,那么可列方程是 ( )
A.20(1+2x)=31.2
B.20(1+2x)-20=31.2
C.20(1+x)2=31.2
D.20(1+x)2-20=31.2
11.(2024·上海期末)某工厂购买的原材料的单价从前年开始进行了调整.如图,l1,l2分别表示该工厂前年和今年采购原材料的总价y(万元)与数量x(吨)之间的关系,请根据函数图象提供的信息解答:如果该原材料的单价从前年开始,每年的增长率都相同,那么这个增长率是 .
12.某班在举行图书共享仪式上互赠图书,每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本,全班共互赠了1 260本图书.设全班共有x名同学,依题意,可列出方程为 ( )
A.x(x-1)=1 260 B.x(x+1)=1 260
C.2x(x-1)=1 260 D.2x(x+1)=1 260
13.为了宣传垃圾分类,小王写了一封倡议书,用微博转发的方式传播,他设计了如下的转发规则:将倡议书发表在自己的微博上,然后邀请x个好友转发,每个好友转发之后,又邀请x个互不相同的好友转发,已知经过两轮转发后,共有111个人参与了本次活动.
(1)x的值是多少
(2)再经过几轮转发后,参与人数会超过10 000人
【C层 创新挑战（选做）】
14.(抽象能力、模型观念、推理能力)在一次象棋比赛中,每两个选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分,平局每个选手各记1分.今有4个人统计这次比赛中全部得分的总数,由于有的人粗心,其数据各不相同,分别为1 979,1 980,1 984,1 985.经核实,其中有一人统计无误,则这次比赛共有多少名选手参加
