阶段测评卷
单元质量评价(一)(第1章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.如图,不能判定△AOB和△DOC相似的条件是 ( )
A.OA·CD=AB·OD B.=
C.∠A=∠D D.∠B=∠C
2.学校艺术节上,同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙.下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品,在同一幅作品中,内、外边框的图形不一定相似的是 ( )
3.(2024·泉州期中)已知:如图,在△ABC中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是 ( )
A.= B.= C.= D.=
4.(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 ( )
A. B.7 C. D.8
5.如图,△AOB和△COD是位似图形,点O是位似中心,CD=2AB.若点A的坐标为(2,1),则点C的坐标为 ( )
A.(-6,-3) B.(-5,-3) C.(-4,-2) D.(-4,-3)
6.为了测量河宽AB,有如下方法:如图,取一根标尺CD横放,使CD∥AB,并使点B,D,O和点A,C,O分别在同一条直线上,量得CD=8米,OC=10米,AC=30米,则河宽AB的长度为 ( )
A.24米 B.30米 C.32米 D.40米
7.如图,△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若S△ABC=4,S△A'B'C'=25,则OA∶AA'的值为 ( )
A. B. C. D.
8.如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点,且CD=DE,连接BE,分别交AC,AD于点F,G,连接OG.有下列结论:①OG=AB;②S四边形ODGF=S△ABF;③由点A,B,D,E构成的四边形是菱形;④S△ACD=2S△ABG.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.两个相似三角形的面积比为9∶16,其中较大的三角形的周长为32 cm,则较小的三角形的周长为 cm.
10.如图,在△ABC中,∠ACD=∠B,若AD=3,BD=4,AC的长为.
11.如图,为了测量大树AB的高度,小明发现大树离教学楼6 m,大树的影子有一部分落在地面上,还有一部分落在教学楼的墙上,墙上的影子CD长为1.6 m,此时小明拿起一根高2 m的竹竿竖直放置在水平地面上,测量出影子长1 m,那么这棵大树高 m.
12.如图,在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为 .
13.已知在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(3,1),B(2,0),O(0,0),若以原点为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为 .
14.(2024·东莞质检)如图,AD平分∠BAC,DE∥AB,如果=,AB=6,那么AE= .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.求证:△ABC∽△AEB.
16.(8分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AB=3AD,AC=3AE.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)如果△ADE的面积为10,则四边形BCDE的面积为 .
17.(8分)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,∠ADE=60°,若AD=4,=,求DE的长.
18.(8分)如图,已知O是原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).
(1)以点O为位似中心,在y轴的左侧将△OBC放大两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形并写出点B',C'的对应点的坐标;
(2)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出点M的对应点M'的坐标.
19.(10分)(2024·青岛期中)如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
如图2,小亮在湖对面P处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出塔的高度AB.
20.(10分)(2023·泰安中考)如图,△ABC,△CDE是两个等腰直角三角形,EF⊥AD.
(1)当AF=DF时,求∠AED;
(2)求证:△EHG∽△ADG;
(3)求证:=.
【附加题】(10分)
(2023·福建中考)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.
(1)求证:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度数;
(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.阶段测评卷
单元质量评价(一)(第1章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.如图,不能判定△AOB和△DOC相似的条件是 (A)
A.OA·CD=AB·OD B.=
C.∠A=∠D D.∠B=∠C
2.学校艺术节上,同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙.下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品,在同一幅作品中,内、外边框的图形不一定相似的是 (A)
3.(2024·泉州期中)已知:如图,在△ABC中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是 (B)
A.= B.= C.= D.=
4.(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 (C)
A. B.7 C. D.8
5.如图,△AOB和△COD是位似图形,点O是位似中心,CD=2AB.若点A的坐标为(2,1),则点C的坐标为 (C)
A.(-6,-3) B.(-5,-3) C.(-4,-2) D.(-4,-3)
6.为了测量河宽AB,有如下方法:如图,取一根标尺CD横放,使CD∥AB,并使点B,D,O和点A,C,O分别在同一条直线上,量得CD=8米,OC=10米,AC=30米,则河宽AB的长度为 (C)
A.24米 B.30米 C.32米 D.40米
7.如图,△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若S△ABC=4,S△A'B'C'=25,则OA∶AA'的值为 (B)
A. B. C. D.
8.如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点,且CD=DE,连接BE,分别交AC,AD于点F,G,连接OG.有下列结论:①OG=AB;②S四边形ODGF=S△ABF;③由点A,B,D,E构成的四边形是菱形;④S△ACD=2S△ABG.其中正确的结论有 (D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.两个相似三角形的面积比为9∶16,其中较大的三角形的周长为32 cm,则较小的三角形的周长为 24 cm.
10.如图,在△ABC中,∠ACD=∠B,若AD=3,BD=4,AC的长为 .
11.如图,为了测量大树AB的高度,小明发现大树离教学楼6 m,大树的影子有一部分落在地面上,还有一部分落在教学楼的墙上,墙上的影子CD长为1.6 m,此时小明拿起一根高2 m的竹竿竖直放置在水平地面上,测量出影子长1 m,那么这棵大树高 13.6 m.
12.如图,在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为 45° .
13.已知在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(3,1),B(2,0),O(0,0),若以原点为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为 (6,2)或(-6,-2) .
14.(2024·东莞质检)如图,AD平分∠BAC,DE∥AB,如果=,AB=6,那么AE= 4 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.求证:△ABC∽△AEB.
【证明】∵四边形ABCD为菱形,AC为对角线,∴∠ACB=∠ACD,
∵∠ACD=∠ABE,∴∠ACB=∠ABE,又∵∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB.
16.(8分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AB=3AD,AC=3AE.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)如果△ADE的面积为10,则四边形BCDE的面积为 .
【解析】(1)∵AB=3AD,AC=3AE,
∴AE∶AC=AD∶AB=1∶3,
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,∴===,
∵△ADE的面积为10,∴△ABC的面积为90,
∴S四边形BCDE=S△ABC-S△ADE=90-10=80.
17.(8分)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,∠ADE=60°,若AD=4,=,求DE的长.
【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠ADB+∠BAD=120°,
∵∠ADE=60°,∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,
∴∠BAD=∠EDC,∴△BAD∽△CDE,∴=,
∵AD=4,=,∴=,∴DE=.
18.(8分)如图,已知O是原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).
(1)以点O为位似中心,在y轴的左侧将△OBC放大两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形并写出点B',C'的对应点的坐标;
(2)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出点M的对应点M'的坐标.
【解析】(1)如图所示,
由图象可得:B'(-6,2),C'(-4,-2);
(2)从这两个相似三角形坐标位置关系来看,对应点的坐标正好是原坐标乘-2的坐标,因为M的坐标为(x,y),所以M的对应点M'的坐标为(-2x,-2y).
19.(10分)(2024·青岛期中)如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
如图2,小亮在湖对面P处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出塔的高度AB.
【解析】由光的反射定律得到:∠CPD=∠BPA,
∵DC,AB均垂直于CB,∴∠DCP=∠ABP=90°,
∴△DCP∽△ABP,∴DC∶AB=PC∶PB,
∴1.6∶AB=4∶247.5,∴AB=99.
答:塔的高度AB是99米.
20.(10分)(2023·泰安中考)如图,△ABC,△CDE是两个等腰直角三角形,EF⊥AD.
(1)当AF=DF时,求∠AED;
(2)求证:△EHG∽△ADG;
(3)求证:=.
【解析】(1)取AE中点K,连接GK,
∵△ABC,△CDE是两个等腰直角三角形,∴∠ACB=∠BAC=45°,∠CED=∠CDE=45°,
∴∠CGE=180°-∠ACB-∠CED=90°,∵CE=CD,∴EG=DG=DE,
∵AF=DF,EF⊥AD,∴AE=DE,∴EG=AE,
∵∠AGE=90°,K是AE的中点,∴GK=EK=EG,∴△EGK是等边三角形,∴∠AED=60°;
(2)由(1)知∠CGE=90°,∴CG⊥DE,∴∠AGD=∠EGH=∠AFH=90°,
∵∠AHF=∠EHG,∴∠FAH=∠HEG,∴△EHG∽△ADG;
(3)如图,作AQ∥BC,交EF的延长线于点Q,
∴∠HCE=∠HAQ,∠HEC=∠Q,∠QAE=∠AEB,
∴△CHE∽△AHQ,
∴=,∴=,
设∠GEH=∠FAH=α,
由(1)知:AC是DE的垂直平分线,
∴AE=AD,
∴∠EAG=∠FAH=α,
∵∠FAH=∠HEG,
∴∠GEH=∠EAG=α,
∴∠AEB=∠ACB+∠EAG=45°+α,
∵∠CEH=∠CED+∠GEH=45°+α,
∴∠AEB=∠CEH,∴∠Q=∠QAE,
∴AE=EQ,∴=.
【附加题】(10分)
(2023·福建中考)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.
(1)求证:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度数;
(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.
【解析】(1)∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,∴∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°,
∵AB=AC,AO⊥BC,∴∠BAO=∠BAC.
∵∠BAC=90°,∴∠BAO=∠ABC=45°,∴∠BAO=∠DFC,∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°
∴∠EDA=∠M,∴△ADE∽△FMC;
(2)设BC与DF的交点为I,如图:
∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,
∴△BID∽△FIC,
∴=,即=,
∵∠BIF=∠DIC,∴△BIF∽△DIC,
∴∠IBF=∠IDC,
∵∠IDC=90°,∴∠IBF=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠IBF=135°;
(3)延长ON交BF于点T,连接DT,DO,如图:
∵∠FBI=∠BOA=90°,
∴BF∥AO,
∴∠FTN=∠AON.
∵N是AF的中点,
∴AN=NF,
∵∠TNF=∠ONA,
∴△TNF≌△ONA(AAS),
∴NT=NO,FT=AO,
∵∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC,
∴AO=CO,
∴FT=CO,
由(2)知,△BIF∽△DIC,
∴∠DFT=∠DCO.
∵DF=DC,
∴△DFT≌△DCO(SAS),
∴DT=DO,∠FDT=∠CDO,
∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,
即∠ODT=∠CDF,
∵∠CDF=90°,
∴∠ODT=∠CDF=90°,
∴ND=TO=NO.
