单元质量评价(二)(第2章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么tan A的值是 (D)
A. B. C. D.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,有三点A(0,1),B(4,1),C(5,6),则sin∠BAC= (C)
A. B. C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=,则tan B的值为 (B)
A. B. C. D.
4.如图,点P为观测站,一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处,一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向的B处,巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里.现渔船发生紧急情况无法移动,巡航船以30海里/小时的速度前去救助,至少需要的时间是 (C)
A.1.5小时 B.2小时 C.2.5小时 D.4小时
5.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,cos A=,则sin∠CBD的值为 (D)
A. B.2 C. D.
6.如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米,小球在左、右两个最高位置时,细绳相应所成的∠AOB为40°,那么小球在最高位置与最低位置的高度差为 (D)
A.(50-50sin 40°)厘米 B.(50-50cos 40°)厘米
C.(50-50sin 20°)厘米 D.(50-50cos 20°)厘米
7.如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆底端D到大楼前台阶底边的距离DC是20米,台阶坡长BC是12米,台阶坡度i=1∶,则大楼AB的高度为 (C)
(精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
A.30.4米 B.36.4米 C.39.4米 D.45.4米
8.(2023·杭州中考)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan 2β,则n= (C)
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=.则BC∶AC= .
10.在锐角△ABC中,已知∠A,∠B满足(sin A-)2+|-tan B|=0,则∠C= 75° .
11.一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm,则其底角的余弦值为 或 .
12.如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2 m,CD=5.8 m,∠DCF=30°,则车位所占的宽度EF为 5 m.(≈1.7,结果精确到1 m)
13.如图,已知在△ABC中,点D在边AB上,AC=AD=3BD,∠DCB=∠A,那么cos∠ACD的值是 .
14.(2023·黄石中考)如图,某飞机于空中点A处探测到某地面目标在点B处,此时飞行高度AC=1 200米,从飞机上看到点B的俯角为37°,飞机保持飞行高度不变,且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D时,地面目标此时运动到点E处,从点E看到点D的仰角为47.4°,则地面目标运动的距离BE约为 423 米.(参考数据:tan 37°≈,tan 47.4°≈)
三、解答题(共52分)
15.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,tan A=,求sin A,cos B的值.
【解析】由AC=6,tan A=,得BC=AC·tan A=AC=6×=8,
由勾股定理,得AB===10,sin A===,cos B===.
16.(10分)计算:(1)4sin2 30°;
(2)sin 60°+cos 45°+sin 30°·cos 30°;
(3)3tan 30°-+cos 45°.
【解析】(1)原式=4×()2=1;
(2)原式=×+×+×=+;
(3)原式=3×-(-1)+=-+1+=1+.
17.(8分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,已知3b=2c,斜边上的高CD=.
(1)求tan A的值;
(2)求BD的长.
【解析】(1)∵3b=2c,∴c=b,而a==b,∴tan A==;
(2)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠ACB=90°,∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠A=∠BCD,∴tan A=tan∠BCD,∴=,而CD=,∴BD=.
18.(8分)在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,且2b=a+c.
(1)求∠A的正弦值;
(2)当b=20时,求c的值.
【解析】(1)由题意,得b=(a+c),
∵a2+b2=c2,∴a2+(a+c)2=c2,
∴(a+c)(a-c)+(a+c)2=0,∴(a+c)(a-c)=0,
∵a+c≠0,∴a=c,∴sin A==;
(2)当b=20时,a+c=40,∵a=c,∴c+c=40,解得c=25.
19.(10分)“日照间距系数”反映了房屋日照情况.如图①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=l∶(h-h1),其中l为楼间水平距离,h为南侧楼房高度,h1为北侧楼房底层窗台至地面的高度,如图②,山坡EF朝北,EF长为15 m,其坡度为i=1∶0.75,山坡顶部平地EM上有一高为24.3 m的楼房AB,底部A到E点的距离为5 m.欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为1.1 m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远
【解析】过点E作EH⊥CF,交CF的延长线于点H(图略),
∵山坡EF坡度为i=1∶0.75,∴==,
设EH=4x m,则FH=3x m,∴EF==5x m,
∵EF=15 m,∴5x=15,解得x=3,∴FH=3x=9,
由题意得:
l=CF+FH+EA=CF+9+5=(CF+14)(m),h=AB+EH=24.3+12=36.3(m),h1=1.1 m,
∴日照间距系数=l∶(h-h1)==,
∵该楼的日照间距系数不低于1.25,∴≥1.25,解得CF≥30,
答:要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少30 m远.
20.(10分)如图1,某人的一器官后面A处长了一个新生物,现需检测其到皮肤的距离.为避免伤害器官,可利用一种新型检测技术,检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案,通过医疗仪器的测量获得相关数据,并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下:
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2,新生物在A处,先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物,检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN;再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物,检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN.
测量数据 ∠DBN=35°,∠ECN=22°,BC=9 cm
请你根据上表中的测量数据,计算新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到0.1 cm)
(参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
【解析】过点A作AF⊥MN,垂足为点F,
设BF=x cm,
∵BC=9 cm,
∴CF=BC+BF=(x+9)cm,
在Rt△ABF中,∠ABF=∠DBN=35°,
∴AF=BF·tan 35°≈0.7x(cm),
在Rt△ACF中,∠ACF=∠ECN=22°,
∴AF=CF·tan 22°≈0.4(x+9)cm,
∴0.7x=0.4(x+9),
解得x=12,
∴AF=0.7x=8.4(cm),
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4 cm.单元质量评价(二)(第2章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么tan A的值是 ( )
A. B. C. D.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,有三点A(0,1),B(4,1),C(5,6),则sin∠BAC= ( )
A. B. C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=,则tan B的值为 ( )
A. B. C. D.
4.如图,点P为观测站,一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处,一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向的B处,巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里.现渔船发生紧急情况无法移动,巡航船以30海里/小时的速度前去救助,至少需要的时间是 ( )
A.1.5小时 B.2小时 C.2.5小时 D.4小时
5.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,cos A=,则sin∠CBD的值为 ( )
A. B.2 C. D.
6.如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米,小球在左、右两个最高位置时,细绳相应所成的∠AOB为40°,那么小球在最高位置与最低位置的高度差为 ( )
A.(50-50sin 40°)厘米 B.(50-50cos 40°)厘米
C.(50-50sin 20°)厘米 D.(50-50cos 20°)厘米
7.如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆底端D到大楼前台阶底边的距离DC是20米,台阶坡长BC是12米,台阶坡度i=1∶,则大楼AB的高度为 ( )
(精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
A.30.4米 B.36.4米 C.39.4米 D.45.4米
8.(2023·杭州中考)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan 2β,则n= ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=.则BC∶AC= .
10.在锐角△ABC中,已知∠A,∠B满足(sin A-)2+|-tan B|=0,则∠C= .
11.一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm,则其底角的余弦值为 .
12.如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2 m,CD=5.8 m,∠DCF=30°,则车位所占的宽度EF为 m.(≈1.7,结果精确到1 m)
13.如图,已知在△ABC中,点D在边AB上,AC=AD=3BD,∠DCB=∠A,那么cos∠ACD的值是 .
14.(2023·黄石中考)如图,某飞机于空中点A处探测到某地面目标在点B处,此时飞行高度AC=1 200米,从飞机上看到点B的俯角为37°,飞机保持飞行高度不变,且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D时,地面目标此时运动到点E处,从点E看到点D的仰角为47.4°,则地面目标运动的距离BE约为 米.(参考数据:tan 37°≈,tan 47.4°≈)
三、解答题(共52分)
15.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,tan A=,求sin A,cos B的值.
16.(10分)计算:(1)4sin2 30°;
(2)sin 60°+cos 45°+sin 30°·cos 30°;
(3)3tan 30°-+cos 45°.
17.(8分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,已知3b=2c,斜边上的高CD=.
(1)求tan A的值;
(2)求BD的长.
19.(10分)“日照间距系数”反映了房屋日照情况.如图①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=l∶(h-h1),其中l为楼间水平距离,h为南侧楼房高度,h1为北侧楼房底层窗台至地面的高度,如图②,山坡EF朝北,EF长为15 m,其坡度为i=1∶0.75,山坡顶部平地EM上有一高为24.3 m的楼房AB,底部A到E点的距离为5 m.欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为1.1 m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远
20.(10分)如图1,某人的一器官后面A处长了一个新生物,现需检测其到皮肤的距离.为避免伤害器官,可利用一种新型检测技术,检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案,通过医疗仪器的测量获得相关数据,并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下:
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2,新生物在A处,先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物,检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN;再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物,检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN.
测量数据 ∠DBN=35°,∠ECN=22°,BC=9 cm
请你根据上表中的测量数据,计算新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到0.1 cm)
(参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
