单元质量评价(三)(第3章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列说法中,不正确的是( )
A.直径是最长的弦
B.同圆中,所有的半径都相等
C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D.长度相等的弧是等弧
2.(2024·菏泽质检)如图,☉O中,点C为弦AB中点,连接OC,OB,∠COB=56°,点D是上任意一点,则∠ADB度数为( )
A.112° B.124° C.122° D.134°
3.如图,AB是☉O的直径,C,D,E都是☉O上的点,则∠1+∠2的度数是( )
A.88° B.89° C.90° D.无法确定
4.如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上两点,且满足∠ADC=120°,AB=12,则的长为( )
A.π B.2π C.4π D.6π
5.如图,△ABC中,∠A=80°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为( )
A.100° B.160° C.80° D.130°
6.一把直尺、一个含60°的直角三角板和一个量角器如图摆放,A为60°角与刻度尺交点,刻度尺上数字为4,点B为量角器与刻度尺的接触点,刻度为7,则该量角器的直径是( )
A.3 B.3 C.6 D.6
7.如图,☉O与正六边形OABCDE的边OA,OE分别交于点F,G,点M为劣弧FG的中点.若FM=2,则☉O的半径为( )
A.2 B. C.2 D.2
8.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BC=CD,将△ABC绕点C旋转至△EDC,则下列说法不正确的是( )
A.AC平分∠BAD
B.点A,D,E在同一条直线上
C.若∠BAD=60°,则AB+AD=AC
D.若AD-AB=CD,则∠ABC=120°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,AB是☉O的直径,C、D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,∠ACE的度数为 .
10.如图,☉A,☉B,☉C两两不相交,且半径都等于2,则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 .(结果保留π)
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则这个三角形的外接圆的半径是 .
12.若圆的半径是4 cm,一条弦长是4,则圆心到该弦的距离是 cm,该弦所对的圆心角的度数为 .
13.(2024·潍坊期末)只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点,利用刻度尺量得该纸条宽MN=
7 cm,AB=6 cm,CD=8 cm.请你计算纸杯的直径,直径为 cm.
14.如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径向正方形内作半圆,P为半圆上一动点(不与A,B重合),当PA= 时,△PAD为等腰三角形.
三、解答题(共52分)
15.(8分)唐代李皋发明了桨轮船,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导,如图,某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6 m,轮子的吃水深度CD为1.5 m,求该桨轮船的轮子直径.
16.(8分)(2024·聊城模拟)如图,在☉O中,AB为直径,延长AB至点P,C是☉O上一点,连接PC并延长交☉O于点D.
(1)若∶∶=1∶2∶3,☉O的半径为2,求弦CD的长;
(2)若☉O的半径为3,OP=4,∠AOD=90°,求弦CD的长.
17.(8分)如图,☉O为△ABC的内切圆,切点分别为F,G,H,点D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线.
(1)若∠C=40°,求∠AOB的度数;
(2)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周长.
18.(8分)如图, ABCD中,☉O过点A,C,D,交BC于E,连接AE,∠BAE=∠ACE.
(1)求证:AE=CD;
(2)求证:直线AB是☉O的切线.
19.(8分)如图,在△ABC中,经过A,B两点的☉O与边BC交于点E,圆心O在BC上,过点O作OD⊥BC交☉O于点D,连接AD交BC于点F,AC=FC.
(1)求证:AC与☉O相切;
(2)若OA=2,∠ABC=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E ,经过点A,D,E的圆的圆心F恰好在y轴上,☉F与y轴相交于另一点G.
(1)求证:BC是☉F的切线;
(2)若点A,D的坐标分别为A(0,-1),D(2,0), 求☉F的半径;
(3)求证:AF=AD+CD.
【附加题】(10分)
如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆O,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在☉O上.
(1)若∠ABC=30°,如图1.
①求∠ACB的度数.
②若AD=DE,求∠EAB的度数.
(2)若=,AC=4,CD=2,如图2.求BC的长.单元质量评价(三)(第3章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列说法中,不正确的是(D)
A.直径是最长的弦
B.同圆中,所有的半径都相等
C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D.长度相等的弧是等弧
2.(2024·菏泽质检)如图,☉O中,点C为弦AB中点,连接OC,OB,∠COB=56°,点D是上任意一点,则∠ADB度数为(B)
A.112° B.124° C.122° D.134°
3.如图,AB是☉O的直径,C,D,E都是☉O上的点,则∠1+∠2的度数是(C)
A.88° B.89° C.90° D.无法确定
4.如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上两点,且满足∠ADC=120°,AB=12,则的长为(B)
A.π B.2π C.4π D.6π
5.如图,△ABC中,∠A=80°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为(D)
A.100° B.160° C.80° D.130°
6.一把直尺、一个含60°的直角三角板和一个量角器如图摆放,A为60°角与刻度尺交点,刻度尺上数字为4,点B为量角器与刻度尺的接触点,刻度为7,则该量角器的直径是(D)
A.3 B.3 C.6 D.6
7.如图,☉O与正六边形OABCDE的边OA,OE分别交于点F,G,点M为劣弧FG的中点.若FM=2,则☉O的半径为(C)
A.2 B. C.2 D.2
8.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BC=CD,将△ABC绕点C旋转至△EDC,则下列说法不正确的是(C)
A.AC平分∠BAD
B.点A,D,E在同一条直线上
C.若∠BAD=60°,则AB+AD=AC
D.若AD-AB=CD,则∠ABC=120°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,AB是☉O的直径,C、D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,∠ACE的度数为 30° .
10.如图,☉A,☉B,☉C两两不相交,且半径都等于2,则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 2π .(结果保留π)
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则这个三角形的外接圆的半径是 5 .
12.若圆的半径是4 cm,一条弦长是4,则圆心到该弦的距离是 2 cm,该弦所对的圆心角的度数为 90° .
13.(2024·潍坊期末)只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点,利用刻度尺量得该纸条宽MN=
7 cm,AB=6 cm,CD=8 cm.请你计算纸杯的直径,直径为 10 cm.
14.如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径向正方形内作半圆,P为半圆上一动点(不与A,B重合),当PA= 2或 时,△PAD为等腰三角形.
三、解答题(共52分)
15.(8分)唐代李皋发明了桨轮船,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导,如图,某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6 m,轮子的吃水深度CD为1.5 m,求该桨轮船的轮子直径.
【解析】由题意得OC⊥AB,AD=BD=3 m,
如图,连接OB,设轮子的直径为d m,则其半径为 m.
则在Rt△OBD中,OD2+BD2=OB2,
∴(-1.5)2+32=()2,
解得d=7.5 m,
∴该桨轮船的轮子直径为7.5 m.
16.(8分)(2024·聊城模拟)如图,在☉O中,AB为直径,延长AB至点P,C是☉O上一点,连接PC并延长交☉O于点D.
(1)若∶∶=1∶2∶3,☉O的半径为2,求弦CD的长;
(2)若☉O的半径为3,OP=4,∠AOD=90°,求弦CD的长.
【解析】 (1)如图,连接OC,
∵AB是☉O的直径,∶∶=1∶2∶3,∴∠BOC=180°×=30°,
∠COD=180°×=60°,∠AOD=180°×=90°,
又∵OC=OD,∴△COD是正三角形,∴CD=OC=OD=2;
(2)如图,过点O作OE⊥CD,垂足为E,则CE=DE=CD,
∵∠AOD=90°=∠POD,OD=3,OP=4,
∴PD==5,
∵=cos∠ODE=,
∴=,
解得DE=,
∴CD=2DE=.
17.(8分)如图,☉O为△ABC的内切圆,切点分别为F,G,H,点D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线.
(1)若∠C=40°,求∠AOB的度数;
(2)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周长.
【解析】(1)∵∠C=40°,∴∠ABC+∠BAC=180°-40°=140°,
∵☉O为△ABC的内切圆,∴∠BAO=∠CAO,∠ABO=∠CBO,
∴∠OAB+∠OBA=×140°=70°,∴∠AOB=180°-70°=110°;
(2)∵☉O为△ABC的内切圆,DE为☉O的切线,设切点为I,
∴EH=EI,DI=DG,
∴△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+CE+EI+DI=CD+CE+EH+DG=CG+CH,
∵AF=AH,BF=BG,CG=CH,∴CG+CH=(AB+BC+AC)-(AH+AF+BF+BG)
=6+9+8-2AB=6+9+8-2×6=11.
18.(8分)如图, ABCD中,☉O过点A,C,D,交BC于E,连接AE,∠BAE=∠ACE.
(1)求证:AE=CD;
(2)求证:直线AB是☉O的切线.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠ADC,
∵四边形ADCE是☉O的内接四边形,∴∠ADC+∠AEC=180°,
∵∠AEC+∠AEB=180°,∴∠ADC=∠AEB,
∴∠B=∠AEB,∴AE=AB=CD.
(2)如图,连接AO,并延长AO交☉O于点F,连接EF.
∵AF是直径,
∴∠AEF= 90°,
∴∠AFE+∠EAF=90°,
∵∠BAE=∠ECA,∠AFE=∠ACE,
∴∠AFE=∠BAE,
∴∠BAE+∠EAF = 90°,
∴∠BAF=90°,又AO是半径,
∴直线AB是☉O的切线.
19.(8分)如图,在△ABC中,经过A,B两点的☉O与边BC交于点E,圆心O在BC上,过点O作OD⊥BC交☉O于点D,连接AD交BC于点F,AC=FC.
(1)求证:AC与☉O相切;
(2)若OA=2,∠ABC=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【解析】(1)∵OD⊥BC,∴∠DOC=90°,∴∠D+∠OFD=90°,
∵∠OFD=∠AFC,∴∠D+∠AFC=90°,
在△AFC中,AC=FC,∴∠CAF=∠AFC,∴∠D+∠CAF=90°,
又∵OA=OD,∴∠D=∠OAD,∴∠OAD+∠CAF=90°,即∠OAC=90°,∴OA⊥AC,
又∵OA为☉O的半径,∴AC与☉O相切.
(2)∵∠ABC=30°,
∴∠AOC=2∠ABC=60°,
∵∠OAC=90°,
∴∠C=30°,
在Rt△AOC中,OC=2OA=4,
AC==2,
则题图中阴影部分的面积为
SRt△AOC-S扇形OAE=OA·AC-
=×2×2-
=2-.
答:题图中阴影部分的面积为2-.
20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E ,经过点A,D,E的圆的圆心F恰好在y轴上,☉F与y轴相交于另一点G.
(1)求证:BC是☉F的切线;
(2)若点A,D的坐标分别为A(0,-1),D(2,0), 求☉F的半径;
(3)求证:AF=AD+CD.
【解析】(1)连接EF,
∵AE平分∠BAC,∴∠FAE=∠CAE,
∵FA=FE,∴∠FAE=∠FEA,∴∠FEA=∠EAC,∴FE∥AC,∴∠FEB=∠C=90°,
∵FE为☉F的半径,∴BC是☉F的切线;
(2)连接FD,
设☉F的半径为r,则r2=(r-1)2+22,解得r=,即☉F的半径为;
(3)作FR⊥AD于R,则∠FRC=90°,又∠FEC=∠C=90°,∴四边形RCEF是矩形,∴EF=RC=RD+CD,
∵FR⊥AD,FA=FD,∴AR=RD,∴EF=RD+CD=AD+CD,
∵AF=EF,∴AF=AD+CD.
【附加题】(10分)
如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆O,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在☉O上.
(1)若∠ABC=30°,如图1.
①求∠ACB的度数.
②若AD=DE,求∠EAB的度数.
(2)若=,AC=4,CD=2,如图2.求BC的长.
【解析】(1)①∵∠ABC=30°,∴∠AED=∠ABD=30°,
由折叠可知,∠ACB=∠AED=30°;
②∵AD=DE.∴∠DAE=∠DEA,∴∠DEA=∠DBA=∠DAE=30°,
由折叠可知,∠DAE=∠DAC=30°,
∵∠ABC=∠ACB=30°,∴∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=120°,
∴∠CAE=∠CAD+∠EAD=60°,∴∠EAB=∠CAB-∠CAE=120°-60°=60°;
(2)∵=,AC=4,CD=2,
∴+=+,
∴AE=BD,
由折叠的性质可知,∠AED=∠ACD,AE=AC=4,
∵∠ABD=∠AED,
∴∠ABD=∠ACD,
∴AB=AC,
∴AE=AB=BD=4,
∴BC=CD+DB=2+4=6.
