单元质量评价(四)(第4章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列方程一定是一元二次方程的是 (D)
A.3x2+-1=0 B.5x2-6y-3=0
C.ax2-x+2=0 D.(a2+1)x2+bx+c=0
2.一元二次方程2x2-x=3化成一般形式后,二次项系数和常数项分别是 (B)
A.2,3 B.2,-3 C.-2,-3 D.2,-1
3.若关于x的方程ax2-3x+c=0有两个不相等的实数根,则下列选项中,满足条件的实数a,c的值可以是(C)
A.a=1,c=3 B.a=-2,c=-4
C.a=-1,c=3 D.a=5,c=1
4.一元二次方程x2-6x+3=0用配方法解,配方结果正确的是 (D)
A.(x+6)2=6 B.(x-6)2=12
C.(x+3)2=12 D.(x-3)2=6
5.(2023·泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是 (C)
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关
6.为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每盒零售价由15元降低了6元,设平均每次降价的百分率是x,则根据题意,下列方程正确的是 (D)
A.15(1-x)=6 B.15(1-2x)=9
C.15(1-x)2=6 D.15(1-x)2=9
7.已知α,β是方程x2-2x-2 022=0的两个实数根,则α2-4α-2β-2的值是 (A)
A.2 016 B.2 018 C.2 022 D.2 024
8.已知等腰△ABC的底边长为5,其腰长恰好是方程x2-2(m+1)x+6m-2=0的根,则m的值是 (D)
A.2 B.4 C.1 D.3
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.方程3x(x+2)-x-2=0的根是 x1=-2,x2= .
10.关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,则c= 0(答案不唯一) (写出一个满足条件的值).
11.(2023·娄底中考)若m是方程x2-2x-1=0的根,则m2+= 6 .
12.已知实数x满足(x2-2x+1)2+4(x2-2x+1)-5=0,那么x2-2x+1的值为 1 .
13.若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+= .
14.(2024·菏泽期末)五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的面积是135 cm2,则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 9 cm2.
三、解答题(共52分)
15.(12分)用适当的方法解下列方程:
(1)x2+2x-5=0;
(2)x2+x+=0;
(3)3x2-2=4x;
(4)2x2-4x+1=0.
【解析】(1)x2+2x-5=0,x2+2x=5,x2+2x+1=5+1,即(x+1)2=6,
∴x+1=±,∴x1=-1+,x2=-1-;
(2)x2+x+=0, (x+)2=0,∴x+=0,∴x1=x2=-;
(3)3x2-2=4x,3x2-4x-2=0,∵a=3,b=-4,c=-2,∴Δ=(-4)2-4×3×(-2)=40>0,
∴x===,∴x1=,x2=;
(4)2x2-4x+1=0,x2-2x=-,x2-2x+1=-+1,即(x-1)2=,
∴x-1=±,∴x1=1+,x2=1-.
16.(6分)已知关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0,
(1)当k取何值时,它是一元一次方程
(2)当k取何值时,它是一元二次方程
【解析】(1)由关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0是一元一次方程,
得或或,解得k=-1或k=0.
故当k=-1或k=0时,关于x的方程(k++(k-3)x-1=0是一元一次方程;
(2)由关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0是一元二次方程,得,解得k=1.
故当k=1时,关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0是一元二次方程.
17.(8分)(2023·襄阳中考)关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两个根为α,β,且k2=αβ+3k,求k的值.
【解析】(1)b2-4ac=22-4×1×(3-k)=-8+4k,
∵有两个不相等的实数根,∴-8+4k>0,解得k>2;
(2)∵方程的两个根为α,β,∴αβ==3-k,
∴k2=3-k+3k,解得k1=3,k2=-1(舍去).
18.(8分)阅读材料,解答问题.
解方程:(4x-1)2-10(4x-1)+24=0.
解:把4x-1视为一个整体,设4x-1=y,
则原方程可化为y2-10y+24=0.
解得y1=6,y2=4.
∴4x-1=6或4x-1=4.
∴x1=,x2=.
以上方法就叫换元法,达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.
请仿照材料解下列方程:
(1)x4-x2-6=0;
(2)(x2-2x)2-5x2+10x-6=0.
【解析】(1)设x2=y,则原方程可化为y2-y-6=0,
整理,得(y-3)(y+2)=0,解得y1=3,y2=-2.
当y=3时,即x2=3,∴x=±;
当y=-2时,x2=-2无解.
∴原方程的解为x1=,x2=-.
(2)设x2-2x=y,则原方程可化为y2-5y-6=0,
整理,得(y-6)(y+1)=0,解得y1=6,y2=-1.
当y=6时,即x2-2x=6,解得x1=1+,x2=1-;
当y=-1时,即x2-2x=-1,解得x3=x4=1.
综上所述,原方程的解为x1=1+,x2=1-,x3=x4=1.
19.(8分)(2024·聊城期末)已知关于x的一元二次方程x2-(k+6)x+3k+9=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为4,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
【解析】(1)∵Δ=(k+6)2-4(3k+9)=k2≥0,∴方程总有两个实数根.
(2)当x=4时,原方程为:16-4(k+6)+3k+9=0,解得k=1,
当k=1时,原方程为:x2-7x+12=0,∴x1=3,x2=4.
由三角形的三边关系,可知3,4,4能围成等腰三角形,∴k=1符合题意;
当AB=AC时,则有:Δ=k2=0,解得k=0,
∴原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.
由三角形的三边关系,可知3,3,4能围成等腰三角形,∴k=0符合题意.
综上所述,k的值为1或0.
20.(10分)芯片目前是全球紧缺资源,某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业,发展新兴产业.某芯片公司引进了一条内存芯片生产线,开工第一季度生产200万个,第三季度生产288万个.试回答下列问题:
(1)已知每季度生产量的平均增长率相等,求前三季度生产量的平均增长率;
(2)经调查发现,1条生产线最大产能是600万个/季度,若每增加1条生产线,每条生产线的最大产能将减少20万个/季度,现该公司要保证每季度生产内存芯片2 600万个,在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多,投入成本越大),应该再增加几条生产线
【解析】(1)设前三季度生产量的平均增长率为x,
依题意得:200(1+x)2=288,
解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去).
答:前三季度生产量的平均增长率为20%.
(2)设应该再增加m条生产线,则每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/季度,
依题意得:(m+1)(600-20m)=2 600,
整理得:m2-29m+100=0,解得:m1=4,m2=25,
又∵在增加产能同时又要节省投入成本,∴m=4.
答:应该再增加4条生产线.
【附加题】(10分)
已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【解析】(1)△ABC是等腰三角形.
理由:把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0,则a=b,所以△ABC为等腰三角形.
(2)△ABC为直角三角形.
理由:根据题意得Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形.
(3)∵△ABC为等边三角形,∴a=b=c,∴方程化为x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.单元质量评价(四)(第4章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列方程一定是一元二次方程的是 ( )
A.3x2+-1=0 B.5x2-6y-3=0
C.ax2-x+2=0 D.(a2+1)x2+bx+c=0
2.一元二次方程2x2-x=3化成一般形式后,二次项系数和常数项分别是 ( )
A.2,3 B.2,-3 C.-2,-3 D.2,-1
3.若关于x的方程ax2-3x+c=0有两个不相等的实数根,则下列选项中,满足条件的实数a,c的值可以是( )
A.a=1,c=3 B.a=-2,c=-4
C.a=-1,c=3 D.a=5,c=1
4.一元二次方程x2-6x+3=0用配方法解,配方结果正确的是 ( )
A.(x+6)2=6 B.(x-6)2=12
C.(x+3)2=12 D.(x-3)2=6
5.(2023·泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是 ( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关
6.为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每盒零售价由15元降低了6元,设平均每次降价的百分率是x,则根据题意,下列方程正确的是 ( )
A.15(1-x)=6 B.15(1-2x)=9
C.15(1-x)2=6 D.15(1-x)2=9
7.已知α,β是方程x2-2x-2 022=0的两个实数根,则α2-4α-2β-2的值是 ( )
A.2 016 B.2 018 C.2 022 D.2 024
8.已知等腰△ABC的底边长为5,其腰长恰好是方程x2-2(m+1)x+6m-2=0的根,则m的值是 ( )
A.2 B.4 C.1 D.3
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.方程3x(x+2)-x-2=0的根是 .
10.关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,则c= (写出一个满足条件的值).
11.(2023·娄底中考)若m是方程x2-2x-1=0的根,则m2+= .
12.已知实数x满足(x2-2x+1)2+4(x2-2x+1)-5=0,那么x2-2x+1的值为 .
13.若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则.
14.(2024·菏泽期末)五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的面积是135 cm2,则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2.
三、解答题(共52分)
15.(12分)用适当的方法解下列方程:
(1)x2+2x-5=0;
(2)x2+x+=0;
(3)3x2-2=4x;
(4)2x2-4x+1=0.
16.(6分)已知关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0,
(1)当k取何值时,它是一元一次方程
(2)当k取何值时,它是一元二次方程
17.(8分)(2023·襄阳中考)关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两个根为α,β,且k2=αβ+3k,求k的值.
18.(8分)阅读材料,解答问题.
解方程:(4x-1)2-10(4x-1)+24=0.
解:把4x-1视为一个整体,设4x-1=y,
则原方程可化为y2-10y+24=0.
解得y1=6,y2=4.
∴4x-1=6或4x-1=4.
∴x1=,x2=.
以上方法就叫换元法,达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.
请仿照材料解下列方程:
(1)x4-x2-6=0;
(2)(x2-2x)2-5x2+10x-6=0.
19.(8分)(2024·聊城期末)已知关于x的一元二次方程x2-(k+6)x+3k+9=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为4,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
20.(10分)芯片目前是全球紧缺资源,某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业,发展新兴产业.某芯片公司引进了一条内存芯片生产线,开工第一季度生产200万个,第三季度生产288万个.试回答下列问题:
(1)已知每季度生产量的平均增长率相等,求前三季度生产量的平均增长率;
(2)经调查发现,1条生产线最大产能是600万个/季度,若每增加1条生产线,每条生产线的最大产能将减少20万个/季度,现该公司要保证每季度生产内存芯片2 600万个,在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多,投入成本越大),应该再增加几条生产线
【附加题】(10分)
已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
