第十四章 整式的乘除 中档题专题提优（无答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘除
专题一 幂的运算
核心考点一 同底数幂的乘法
(m，n都是正整数) ，即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
03. 若 则n= .
核心考点二 幂的乘方
(m，n都是正整数)，即：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
06. 已知 可变形为 则a, b, c的大小关系是 .
核心考点三 积的乘方
(其中a为正整数)，即：积的乘方，每一个因数分别乘方.
08. 已知 则
核心考点四 逆用幂的运算法则
09.已知: 则 值为 ( )
A. 17 B. 36 C. 48 D. 72
10. 已知: 则：
11. 已知: 则
12. 已知: 则m= , n= .
13.已知:2"=a, 3"=b, n是正整数，则用含有a，b的式子表示( 的值为 .
14. 若 则
A. 2 B. 3 C. 6 D. 12
15.已知: 3"=a, 81"=b, m, n为正整数, 则3 的值为 ( )
A. a b B. 27ab C. 3a+12b
16按一定规律排列的一列数: 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , …, 若x, y, z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是 .
核心考点五 幂的运算法则综合运用
17. 已知 求 的值. 18. 已知 求 的值.
19. 是否存在整数a, b, c满足 若存在，求出a，b，c的值； 若不存在，说明理由.
专题二 整式的乘除
核心考点一 单项式与单项式的乘法
单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
01. 计算:12
02. 计算:
核心考点二 单项式与多项式的乘法
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.
核心考点三 多项式与多项式的乘法
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即|①|②| ① ② ③ ④
(a+b)(m+n)= am+ an+ bm+ bn
|③↑④↑
04. (1) (x+2)(x-4)= ,
核心考点四 整式的除法
08. [(2x-y)(2x+y)+y(y-6x)]÷2x.
核心考点五 降次代换
09. 若 则
10. 已知 则代数式 的值是 ( )
A. 31 B. -31 C. 41 D. -41
11. 已知. 求(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)的值.
核心考点六 多项式相乘展开后与待定参数
12. 若 的积中不含x的二次项，则常数m的值为 ( )
A. 0 B
13. 若 的展开式中不含x 项和x 项，则m"的值= .
14. 已知a, b, x, y满足a+b=x+y=3, ax+ by=7, 求 的值.
15. 已知 将x=0代入这个等式中可以求出a =1. 用这种方法可以求得 的值为( )
A. -16 B. 16 C. -1 D. 1
16. 若 则：
(1) a+b+c+d+e+f= ; (2) f= .
17已知, 若多项式. 被x+3整除，说明 时，多项式的值为0，即当x=-3时，多项式为0，我们可以把x=-3代入多项式，值为0，可得方程，求出k的值为 若多项式. 去除以x+3时，余数为6，说明. 时，多项式的值为6，即当. 时，多项式为6，我们可以把x=-3代入多项式，值为6，可得方程，求出k的值为- 结 合上述知识，解决下列问题：
(1) 若 能被x-2整除，则a的值为 ；
(2) 若 除以x+2时, 余数为4, 则a的值为 ;
(3) 若 能被x-2与x+3整除, 则a-b的值为 ;
(4) 若 去除以x-2时，余数为1去除以x+3时，余数为- 求a, b的值.
专题三 整式的乘除的应用
核心考点一 整式的运算与求值
01 计算:
02先化简, 再求值: 其中x=0.5, y=-1.
核心考点二 待定参数
03.已知( 其中p，q为正整数，则
04. 如果二次三项式 中有一个因式是3a-2，那么k的值为 .
05以下关于x的各个多项式中, a, b, c, m, n均为常数.
(1) 根据计算结果填写下表：
二次项系数 一次项系数 常数项
(2x+1)(x+2) 2 2
(2x+1)(3x-2) 6 -2
( ax+b)( mx+n) am bn
(2) 已知 既不含二次项，也不含一次项，求 的值；
(3)多项式M与多项式 的乘积为 则2a+b+c的值为 .
专题四 整式乘除的几何背景
核心考点一 整式的运算与图形
01.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆.若a+b=4， 求剩下的钢板的面积.
02.如图将一个边长为a的小正方形与四个边长均为b的大正方形拼接在一起(其中a03.在长方形ABCD内, 将两张边长分别为a和b(a>b) 的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S ，图2 中阴影部分的面积为S . 当AD-AB=2时, 的值为 ( )
A. 2a B. 2b
C. 2a-2b D. -2b
核心考点二 图形的拼接与整式的乘法
04有足够多的如图所示的正方形和长方形的卡片.
(1)选取1号，2号，3号卡片若干张，拼成一个正方形(不重叠无缝隙)，并能运用拼图前后面积之间的关系说明公式( 成立，请画出这个正方形；
(2) 小明想用类似(1) 的方法解释多项式乘法( 那么用2号卡片张，3号卡片 张；
(3)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图.
专题五 平方差公式的应用及构造
平方差公式： (
核心考点一 平方差公式的基本应用
01. 计算: (2) (b+2a)(2a-b);
(3) (-x+2y)(-x-2y);
核心考点二 平方差公式在多项式计算中的应用
02. (1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
核心考点三 平方差公式的构造
03. 计算:
04. 计算下列各式，完成所提出的问题：
…
计算：
① ;
05.若 则(
06. 已知实数a, b, x, y满足 求 的值.
07. 设a, b, c, d都是自然数, 且 求d-b的值.
专题六 完全平方公式
完全平方公式：
核心考点一 完全平方公式的基本应用
01. 计算:
核心考点二 含参数的完全平方式
02. 若 是关于x，y的完全平方式，则
03. 若 是一个完全平方式，则m的值为 .
核心考点三 完全平方公式的拓展应用
04. 计算:
(5) 求证: 1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方, 并求出这个整数.
核心考点四 完全平方公式补充公式的应用
05. 已知 且a=1, 试求( 的值.
06. 设 求 的值.
07. 已知 求 的最小值.
专题七 完全平方公式的变形与应用
核心考点一 利用完全平方公式求a+b, a-b, ab, a -b 的值
01.已知 求 xy和x-y的值;
02. 已知 求 和x+y的值;
03.若(2026-a)(2025-a)=2024, 则(
核心考点二 利用完全平方公式求 的值
04.例: 已知 求 的值.
解：因为 所以 则 所以
观察以上解答，解答以下问题：已知
(1) 求下列各式的值：
(2) 直接写出 的值 .
05. 已知:x -3x+1=0, 则 的值为 .
06. 已知 则 的值为 ( )
A. 136 B. 169 C. 194 D. 196
07. 若 则
专题八 配方法与完全平方式的构造
核心考点一 配方构造完全平方式
01. 将二次三项式 进行配方，正确的结果是 ( )
B. (x-2) -1 D. (x-2) +3
02.关于x的二次三项式 有最小值-10, 则常数a= .
03.a, b为实数, 整式 的最小值是 ( )
A. -13 B. -4 C. -9 D. -5
04.已知, 则x+y+z= .
05.已知a, b, c满足 则a-b+c的值为 ( )
A. -1 B. 5 C. 6 D. -7
核心考点二 配方构造完全平方式求最值、比较大小
06.简读以下材料井解决问题：
①若a-b≥0, 则a≥b; 若a-b≤0, 则a≤b;
有最小值1；
有最小值-9.
(1)求 的最小值；
(2) 已知 比较P与Q的大小.
核心考点三 配方法求最值应用题
07.我们已学习了完全平方公式： 观察下列式子：
x并回答下列问题.
则
(2) 解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，按图设长方形一边长度为x米，回答下列问题：
①列式：用含x的式子表示花圃的面积： ；
②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米
专题九 乘法公式的几何背景
核心考点一 乘法公式与图形结合
01如图1，在长为2b，宽为b的长方形中去掉两个边长为a的小正方形. 然后将图2中的阴影部分剪下，并将剪下的阴影部分从中间剪开，得到两个形状，大小完全相同的小长方形. 将这两个小长方形与剩下的图形拼成如图3 中的长方形，上述操作能够验证的等式是( )
02.四张长为a, 宽为b(a>b) 的长方形纸片, 按如图的方式拼成一个边长为 (a+b) 的正方形，图中空白部分的面积为 阴影部分的面积为S , 若 则a:b= .
03. 探究：如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图2的长方形.
(1) 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 ； ；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母表示)；
应用：请应用这个公式完成计算：
04.(1) 用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和. 请你用一个等式表示( a +b , ab之间的数量关系 ；
(2) 根据(1) 中的数量关系，解决如下问题：
①已知 求m-n的值;
②已知( 求 的值.
05. 我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践一面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释得出代数恒等式，请你解答下列问题：
(1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD 的面积. 可以得到代数恒等式：
(2) 已知 求 ab+ ac+ bc的值;
(3) 若n, t满足如下条件:
,求t的值.
核心考点二 杨辉三角与整式乘法
06.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如下图所示) 就是一例.
这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和.事实上，这个三角形给出了(a+b)"(n为正整数) 的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列) 的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 展开式中各项的系数； 第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数等等.
(1) 根据上面的规律， 展开式的各项系数中最大的数为 ；
(2) 直接写出式于 的值为 ；
(3)若 求 的值.
专题十 因式分解
核心考点一 因式分解的定义
01. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是 ( )
核心考点二 提公因式法
02. 把下列各式分解因式：
(4) 2a(b+c)-3(b+c); (5)6(x-2)+x(2-x);
核心考点三 运用公因式法
03. 把下列各式分解因式：
(1) 1-25b ;
(6) x -y ;
核心考点四 分组分解法
04. 分解因式:
(2) 2ax-10ay+5by- bx;
核心考点五 十字相乘法
05. 把下列各式分解因式：
核心考点六 配方法
06. 分解因式:
核心考点七 换元法
07. 把下列各式分解因式：
专题十一 因式分解的应用
核心考点一 对因式分解结果的判断
01.下列因式分解结果正确的是 ( )
02.下列因式分解结果正确的是 ( )
核心考点二 多步骤因式分解
03.因式分解:
(2) (p-3)(p-1)+1.
04. 因式分解:
05.将下列多项式因式分解：
06.因式分解:
核心考点三 利用因式分解求值
07. 若 则a-b= .
08.若 则a+b-c的值是 ( )
A. 2 B. 5 C. 20 D. 50
09. 已知a, b满足 则x, y的大小关系是 ( )
A. x≤y B. x≥y C. x>y D. x10.已知( 则((x-2027) 的值是 .
11. 已知a=2019x+2016, b=2019x+2017, c=2019x+2018, 求多项式( 的值.
核心考点四 利用图形理解因式分解
12.如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解：
核心考点五 试根法因式分解
13. 对于多项式 我们把. 代入此多项式，发现. 能使多项式 的值为0，由此可以断定多项式. 中有因式( (注：把x=a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式( 于是我们可以把多项式写成： 分别求出m，n后再代入 就可以把多项式. 因式分解.
(1) 求式子中m, n的值;
(2) 以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式.