2024-2025学年人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程中档题专题提优 （共12专题，无答案）

第二十一章 一元二次方程中档题专题提优
专题一 一元二次方程的定义和根
核心考点一 一元二次方程的定义
01. 若方程 是关于x的一元二次方程，则( )
A. m≠1 B. m≥0 C. m≥0且m≠1 D. m为任意实数
核心考点二 一元二次方程根的定义
02. 若关于x的一元二次方程. 有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )
A. ab B. a/b C. a+b D. a-b
核心考点三 由一元二次方程的根得到的等式变形代入
03. 若m是方程. 的一个根，则代数式 的值为 .
04. 已知a, b是方程 的两个根，则代数式 的值为 .
05. 已知m,n是方程 的两个根，且 则a的值为( )
A. -5 B. 5 C. -9 D. 9
06. 设α是方程. 的一个实根，则
A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021
核心考点四 一元二次方程的特征根
07. 已知a-2b+4c=0, 则关于x的一元二次方程( 必有一根为 .
08. 定义：如果一元二次方程 满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知. 是“凤凰”方程，且有一个根为-1，则下列结论正确的是( )
A. a=c, b=1 B. a=b, c=0 C. a=-c, b=0 D. a=b=c
核心考点五 一元二次方程的根与换元法
09. 关于x的方程 (a, m, b均为常数, a≠0) 的解是 则方程 的解是 .
10. 已知关于x的方程. 的解是x =-3, x =1,则关于x的方程 的解是 .
专题二 解一元二次方程
核心考点一 用指定的方法解一元二次方程
01. 用指定的方法解下列方程：
(直接开平方法) (配方法)
(公式法) (因式分解法)
核心考点二 换元法解可化为一元二次方程的方程
02. 解下列方程：
03. 若实数x, y满足 则.
04.阅读下列材料并解决问题.
【提出问题】解方程： 提示：可以用“换元法”解方程.
解: 设. 则原方程可化为 解得 (舍去) ,
【解决问题】解方程：
核心考点三 含绝对值的一元二次方程的方程
05. 已知方程. 求满足该方程的所有根之和.
核心考点四 含参数的一元二次方程的方程
06. 若x=0是方程( 的解，则.
专题三 配方法求代数最值
核心考点一 配方法
01.将一元二次方程. 化成 (a,b为常数) 的形式，则a，b的值分别是 ( )
A. -4, 21 B. -4, 11 C. 4, 21 D. -8, 69
核心考点二 利用配方法求代数式最值
02.两个数的和为13，则这两个数的积的最大值为 .
03. 已知a, b为实数, 求代数式 的最小值.
04. 已知实数x, y满足 若t=x+y, 求t的最大值.
05. 已知x, y都为实数, 则式子 的最大值是 ( )
A. 0 D. 12
专题四 配方法求几何最值
核心考点一 利用配方法求面积最值
01.如图, 四边形ABCD的两条对角线AC, BD互相垂直, , 当AC, BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大
02.如图, 四边形ABCD的两条对角线AC, BD所成的锐角为( 则四边形ABCD的面积的最大值为 .
B
03.如图, 在 中,A ，点D为AB边上一点(不与点B重合)，连接CD，将线段CD 绕点D 逆时针旋转 , 点 C的对应点为E, 连接BE. 若. 则 的面积的最大值为 .
核心考点二 利用配方法求线段最值
04.如图, 在正方形ABCD中, , 点H, F分别在边AB, CD上, 若 将线段HF绕点F顺时针旋转 °至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 .
专题五 根的判别式
核心考点一 不解方程，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
01. 不解方程，判断方程. 的根的情况是 ( )
A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根 D. 随k值的变化而变化，不能判定
核心考点二 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围
02.关于x的一元二次方程( 有实数根，则m的取值范围是 .
03. 如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
04. 关于x的方程 有实数根，则a满足 ( )
A. a≥1 B. a>1且a≠5 C. a≥1且a≠5 D. a≠5
核心考点三 将二次等式理解为二次方程，利用判别式求字母的取值范围
05. 若实数a, b满足 则实数a的取值范围是 ( )
A. a≤-2 B. a≤-2或a≥4 C. a≥4 D. -2≤a≤4
核心考点四 设参将二次式转化为二次方程，利用判别式求式子的最值
06.已知实数a, b满足. 求a+b的最小值.
核心考点五 分类讨论
07. 已知关于x的方程
(1) 求证：无论k取任何值，方程总有实数根；
(2) 若等腰△ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根， 求 的周长.
08.已知关于x的方程.
(1) 求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根；
(2) 求证：无论k取何值，方程总有一定根；
(3) 若等腰 的边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的根，求 的周长.
09. 已知实数a, b, c满足 求a的最大值.
核心考点六 利用判别式求几何图形的存在性
10. 如图, 矩形ABCD中,
(1) 若 P为DC上一动点 (异于C，D两点)，当P在什么位置时， 为直角三角形；
(2)P为DC上一点(异于C, D两点) , 当a, b满足什么条件时,使 为直角三角形的P点有且只有一个
专题六 根与系数的关系
核心考点一 利用根与系数的关系直接求值
01. 已知x , x 是方程. 的两根，则.
02. 若方程. 的一个根为 则方程的另一个根为 ， c= .
03.已知方程 的两个根分别为x , x , 则.
A. -7 B. -3 C. 3 D. 7
核心考点二 结合完全平方公式和公式 利用根与系数的关系求值
04. 若x , x 是方程. 的两个根，试求下列各式的值：
核心考点三 结合根的定义和根与系数的关系，整体代换或者降次代换求代数式的值
05. 设a, b是方程. 的两个实数根，则 的值为 ( )
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
06. 已知a, b是方程. 的两根，则代数式 的值是 ( )
A. -25 B. -24 C. 35 D. 36
07.若m, n是方程. 的两个实数根，则
08.关于x的方程. 的两个实数根分别为x ，x ，且. 则m的取值范围是 ( )
且m≠0 C. m<1 D. m09. 若x 和x 是方程. 的两个实数根，则代数式( 的值为 .
核心考点四 利用根与系数的关系求参数的范围，容易忽略判别式的应用
10. 已知方程. 有一个正根，一个负根，那么m的取值范围是 ( )
A. m>7 B. m>1 C. m<1 D. m<7
11. 已知方程 的两个实数根的平方和为 求k的值.
12. 已知关于x的方程
(1) 求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
(2) 若此方程有两个实数根x , x , 且| 求k的值.
核心考点五 满足一元二次方程定义的等式，利用根与系数的关系求参数的值
13. 已知a, b, m, n为互不相等的实数, 且(a+m)(a+n)=2, (b+m)(b+n)=2, 则 ab﹣ mn的值为( )
A. 4 B. 1 C. -2 D. -1
14. 若方程. 的两个根是x , x , 则. 请根据以上结论，解决下列问题：
(1) 若p=-4, q=3, 求方程: 的两根；
(2) 已知实数a, b满足 求 的值；
(3) 若实数a, b满足 及 且ab≠1, 求 的值.
核心考点六 利用根与系数的关系求参数的最值
15. 已知a, b, c满足 求正数c的最小值.
专题七 一元二次方程的实际应用 (1) ——面积问题
核心考点一 边框设计问题
01. 在一幅长60dm，宽40dm的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图. 要使整个挂图的面积为2800dm ，设纸边的宽为 xdm，则可列出方程为 ( )
02.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5280cm ，设金色纸边的宽为 xcm，则可列方程为 . (化为一般式)
核心考点二 甬路问题与平移
03.如图, 为改善小区环境, 争创文明家园. 某社区决定在一块长(AD)16m, 宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行另一条与AD 平行，其余部分种草，且草坪部分的总面积为112m . 求小路的宽为多少m
04. 有一块长为 am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪.
(1) 已知a=26, b=15, 并且四块草坪的面积和为1 ，请求出每条道路的宽x为多少米
(2) 已知a：b=2∶1，x=2，并且四块草坪的面积和为312m ，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米
(3)已知a=28，b=14，要在场地上修筑宽为2m的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路(m，n为常数) ，使草坪地的总面积为 , 则m, n的值为多少 (直接写出答案).
核心考点三 靠墙围栏问题——注意自变量的取值范围
05.如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE，AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形. 铁栅栏总长180m，已知墙AE长90m，墙AF长60m.
(1) 设BC= xm, 则CD为 m, 四边形ABCD的面积为 ;m ;
(2) 若长方形ABCD的面积为4000m , 问BC为多少米
06. 如图，利用一面墙(墙EF长28米)，先用砌60米长的墙的材料围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边 BC上要预留2米宽的入口(如图MN所示，不用砌墙).
(1) 若这个矩形花园的面积为300平方米，求AB的长；
(2) 能否围成面积为500平方米的矩形花园 若能，求出AB的长，若不能，请说明理由.
核心考点四 折叠纸盒问题
07. 如图是一张长10dm，宽6dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为 xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒.
(1) 无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm(用含x的式子表示)；
(2) 若要制作一个底面积是32dm 的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.
08. 一块矩形铁皮，长12dm，宽4dm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制作一个无盖方盒，如果要使制作的无盖方盒的侧面积占矩形铁皮面积的八分之五，设各角切去的正方形的边长为 xdm.
(1) 用含x的代数式表示，盒底的长为 dm，盒底的宽为 dm；
(2) 求x的值.
专题八 一元二次方程的实际应用(2) ——循环、传染、分叉问题
核心考点一 循环比赛问题
01. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛
02.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两个队之间赛一场)，现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
03.圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为 .
04.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场) ，计划安排15场比赛，则应邀请 个球队参加比赛.
核心考点二 传染问题
05.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感.
(1) 每轮传染中平均一个人传染几个人
(2) 如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 个人患流感.
06. 有3 人患有流感，经过两轮传染后，有192人患流感，若开始有5人患流感，则经过一轮传染后，共有 个人患有流感.
核心考点三 树枝分叉问题
07.某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为 ( )
08.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干，小分支的总数是57，求每个支干长出多少个小分支
09.有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后，共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人
专题九 一元二次方程的实际应用(3)——增长率、下降率问题
核心考点一 增长率问题
01.某种植基地3月份蔬菜产量为80t，预计5月份蔬菜产量将达到100t，求蔬菜产量的月平均增长率. 设蔬菜产量的月平均增长率为x，则可列方程为 ( )
A. 80(1+x) =100 C. 80(1+2x)=100
02. 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率.
03.某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个.
(1) 求口罩日产量的月平均增长率；
(2) 按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少
04.2018年8月份, 我省大型企业集团的资产总额已达到11906万元, 同比2017年8月增长了 19%，下列说法：①2017年8月份我省大型企业集团的资产总额为11906(1-19%)万元；②2017年8月份我省大型企业集团的资产总额为 万元； ③若2018年9月和10月这两个月资产总额按2%的增长率环比增长，则2018年 10月份我省大型企业集团的资产总额将达到11906(1+2%) 万元. 其中正确的是 ( )
A. ②③ B. ①③ C. ①②③ D. ①②
核心考点二 下降率问题
05.某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是 ( )
A. 289(1-x) =256 B. 256(1-x) =289 C. 289(1-2x)=256 D. 256(1-2x)=289
06.某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是( )
A. 90元 B. 100元 C. 819元 D. 810元
07.两年前生产1t药品的成本是6000元，现在生产1t药品的成本是4860元，则药品成本的年平均下降率是 .
专题十 一元二次方程的实际应用 (4) ——利润商品销售问题
01. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件50元，每月可卖出200件. 市场调查反映：每件商品的售价每涨1元，每月少卖5件. 设每件商品的售价为x元，每月的销售利润为4500元. 根据题意，下面所列方程中正确的是 ( )
A. (x-50)(450-5x)=4500 B. (x-30)(450-5x)=4500
C. (20+x)(200-5x)=4500 D. (10-x)(5x-50)=4500
02. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价. 若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a) 件. 但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品 每件商品应售多少元
03. 某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完. 第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，问第二次采购玩具多少件
04. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖出500个，每个售价每提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元 这时应进货多少个
专题十一 一元二次方程的几何应用(1) ——动点形成的线段和面积
01. 如图, 在 中， , 点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1) 如果P, Q分别从A, B同时出发, 那么几秒后, 的面积等于
(2) 如果P, Q分别从A, B同时出发, 那么几秒后, PQ的长度等于5cm
02. 如图, A, B, C, D为矩形的四个顶点,A ,动点P, Q分别从点A, C同时出发，点P以3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.
(1) P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为
(2) P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm.
专题十二 利用方程的根及根与系数的关系求代数式的值(新热点)
01. 已知m为方程. 的一个实数根，那么代数式 的值为
02. 设x , x 是一元二次方程. 的两根，则代数式 的值为 .
03. 已知一元二次方程. 的两根分别为x ，x ，则代数式 的值为
04. 已知a，b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值是 .
05. 已知关于x的一元二次方程. 有两根α, β. 若 则m的值为 .