2015-2016学年上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2015-2016学年上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 520.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-01-12 14:44:27 | ||
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文档简介
2015-2016学年上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1．若（1﹣ax）5的展开式中含有x3的系数为﹣80，则实数a= ．
2．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则这个圆锥的体积为 ．
3．是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的 条件．
4．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同．从中取出3个球，那么这三个球的颜色不完全一样的概率为 ．
5．关于x的不等式的解集为 ．
6．函数f（x）=cos2x+sinx在区间上的最小值是 ．
7．已知向量=（，1），是不平行于x轴的单位向量，且，则b= ．
8．数列{an}满足，则= ．
9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m α，n∥α，则m∥n．
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n．
③若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
④若m∥α，n∥α，则m∥n．
其中正确的命题序号是 ．
10．如图，将正方形剪去两个底角为15° ( http: / / www.21cnjy.com )的等腰三角形CDE和CBF，然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
11．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）在定义域R上有四个单调区间，则实数a，b，c应满足的条件为 ．
12．函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是 ．
13．已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是 ．
14．函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为 ．
二、选择题.（每小题5分，共20分）
15．若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ）
A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．0＜a＜1且b＜0
16．设{an}是公比为q（q≠1），首项为a的等比数列，Sn是其前n项和，则点（Sn，Sn+1）（ ）
A．一定在直线y=qx﹣a上 B．一定在直线y=ax+q上
C．一定在直线y=ax﹣q上 D．一定在直线y=qx+a上
17．在，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列
B．b，a，c依次成等差数列
C．a，c，b依次成等差数列
D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列
18．若关于x的不等式x2+ax﹣a﹣2＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0和2x2+2（2a+1）x+4a2+1＞0的解集依次为A和B，那么使得A=R和B=R至少有一个成立的实数a（ ）
A．可以是R中任何一个数
B．有有限个
C．有无穷多个，但不是R中任何一个数都满足
D．不存在
三、解答题（共74分）
19．（理）设虚数z满足（其中a为实数）．
（1）求|z|；
（2）若|z﹣2|=2，求a的值．
20．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB=60°
（1）求A1C与平面ABCD所成的角的大小；
（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．已知函数的反函数为f﹣1（x）
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）解关于x的不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）．
22．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量且x1＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c
（1）求xn+1与xn的关系式
（2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求x1，a，b，c所应满足的条件
（3）设a=2，c=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，则捕捞强度b的最大允许值是多少？并说明理由．
23．已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x） f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立
（1）判断函数是否属于集合M
（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．
（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M ( http: / / www.21cnjy.com )，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．
2015-2016学年上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1．若（1﹣ax）5的展开式中含有x3的系数为﹣80，则实数a= 2 ．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数等于﹣80，求得实数a的值．
【解答】解：（1﹣ax）5的展开式的通项公式为 Tr+1= （﹣a）r xr，令r=3，可得它的展开式中含有x3的系数为10 （﹣a3）=﹣80，
求得实数a=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
2．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则这个圆锥的体积为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离．
【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr=×18，
解得r=12．
故圆锥的高h==，
∴圆锥的体积V=πr2h=288，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计 ( http: / / www.21cnjy.com )算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
3．是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的 充要条 条件．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数，
则f（﹣x）=f（x），
即ln（e﹣x+1）﹣ax=ln（ex+1）+ax，
即ln（+1）﹣ln（ex+1）=2ax，
即ln（）﹣ln（ex+1）=2ax，
即ln（ex+1）﹣lnex﹣ln（ex+1）=2ax，
即﹣x=2ax，
即2a=﹣1，则，
即是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的充要条件，
故答案为：充要．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键．
4．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同．从中取出3个球，那么这三个球的颜色不完全一样的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】集合思想；数学模型法；概率与统计．
【分析】由排列组合的知识可得总的取法种数和颜色完全一样的取法种数，由概率公式可得．
【解答】解：从5个白球和3个黑球中任取3个共=56种取法，
其中三个球的颜色完全一样的有+=11种方法，
故所求概率P==，
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．
5．关于x的不等式的解集为 （﹣∞，﹣1） ．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．
【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解．
【解答】解：由，得
，解得x．
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题．
6．函数f（x）=cos2x+sinx在区间上的最小值是 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】化余弦为正弦，然后令sinx=t换元，利用x的范围求得t的范围，配方后求得函数最小值．
【解答】解：f（x）=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1．
令sinx=t，
∵x∈，∴t=sinx∈[]，
则y=，t∈[]，
当t=﹣时，．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数最值的求法，考查了利用换元法求二次函数的最值，是基础题．
7．已知向量=（，1），是不平行于x轴的单位向量，且，则b= ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】利用列方程，解出向量的坐标
【解答】解；设，则由b是不平行于x轴的单位向量得到①
又得到
由①②解出x=，y=
故答案为（）
【点评】本题考查数量积计算和单位向量概念，另外还考查学生的解方程的能力．
8．数列{an}满足，则= ．
【考点】数列的极限．
【专题】计算题；极限思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】可以判断出数列{an+an+1}是以为首先，为公比的等比数列，从而可以由等比数列的前n项和公式求该数列的前n项和，从而可以得到= ( http: / / www.21cnjy.com )，而=，这样便可求出．
【解答】解：根据条件，；
∴；
∴数列{an+an+1}是以为首先，为公比的等比数列；
∴=
=
=
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
∴．
故答案为：．
【点评】考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的概念及其计算，清楚是本题求解的关键．
9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m α，n∥α，则m∥n．
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n．
③若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
④若m∥α，n∥α，则m∥n．
其中正确的命题序号是 ②③ ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】m α，n∥α，则m∥n或m与 ( http: / / www.21cnjy.com )n是异面直线；若m⊥α，则m垂直于α中所有的直线，n∥α，则n平行于α中的一条直线l，故m⊥l，m⊥n；若m⊥α，m⊥β，则α∥β；m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交，或m，n异面．
【解答】解：m α，n∥α，则m∥n或m与n是异面直线，故①不正确；
若m⊥α，则m垂直于α中所有的直线，n∥α，则n平行于α中的一条直线l，
∴m⊥l，故m⊥n．故②正确；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；
m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交，或m，n异面．故④不正确，
综上可知②③正确，
故答案为：②③．
【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，包含两条直线和两个平面，这种题目需要认真分析，考虑条件中所给的容易忽略的知识，是一个基础题．
10．如图，将正方形剪去两个底角为15°的等腰三角形CDE和CBF，然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】作出正三棱锥的侧面与底面所成的二面角，转化为三角形求解，即可得结论．
【解答】解：由题意，作AO⊥平面BEF，垂足为O作BG⊥EF，连接AG，则O在BG上，OG⊥EF，AG⊥EF，
∴∠AGO为正三棱锥的侧面与底面所成的二面角．
设AB=a，BE=BF=EF=b，
则，a=2bcos15°，BG=，OG=，AG=
∴cos∠AGO== ( http: / / www.21cnjy.com )
====．
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出面面角的平面角是解题的关键，注意三角函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．
11．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）在定义域R上有四个单调区间，则实数a，b，c应满足的条件为 a，b异号 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由f（x）的解析式显然得到f（x）为偶函数，从而x≥0时，f（x）有两个单调区间，这样便可得到．
【解答】解：f（x）为偶函数，∴x≥0时，f（x）=ax2+bx+c有两个单调区间；
∴对称轴x=；
∴；
∴a，b，c满足的条件为a，b异号．
故答案为：a，b异号．
【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，二次函数的对称轴，要熟悉二次函数图象．
12．函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是 ．
【考点】对数函数的值域与最值；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】首先把恒成立问题转化为：在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，再通过分离参数转化为：在[2，+∞）上恒成立，设，利用导数求出g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，即可．
【解答】解：因为函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，
所以在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，
即：在[2，+∞）上恒成立，
令，
因为x≥2，所以，
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以：当x=2时，g（x）的最小值为g（2）=，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查函数中的恒成立问题，用到了分离参数法，做恒成立问题关键在转化为参数与某个函数的最值比较大小．
13．已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是 [，1）∪（1，2] ．
【考点】函数恒成立问题；幂函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】由：构造函数，由函数图象与性质可以得出结论．
【解答】解：（1）由，构造函数：，a＞0，且a≠1
（2）由函数图象知，当x∈（﹣1，1）时，
g（x）的图象在h（x）的图象下方．
如图：①当a＞1时，有h（﹣1）≥g（﹣1），
即，得a≤2，即1＜a≤2；
②当，得即
有①、②知：实数a的取值范围是[，1）∪（1，2]．
答案为[，1）∪（1，2]．
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【点评】本题借助二次函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，考查函数的恒成立问题．合理构造函数，用数形结合的方法容易解答．
14．函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为 ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】新定义．
【分析】根据三角函数的面积的定义，利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积．
【解答】解：对于函数y=sin3x而言，n=3，
∴函数y=sin3x在[0，]上的面积为：，
将y=sin3x向右平移得到y=sin（3x﹣π）=sin3（x﹣）的图象，此时y=sin（3x﹣π）在上的面积为，
将y=sin（3x﹣π）向上平移一个单位得到y=sin（3x﹣π）+1，此时函数在上上的面积为，
故答案为：．
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【点评】本题主要考查曲线面积的求法，根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系是解决本题的关键．
二、选择题.（每小题5分，共20分）
15．若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ）
A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．0＜a＜1且b＜0
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0，即可求解．
【解答】解：∵函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0，
即a＞1，b＞0，
故选：B
【点评】本题考查了指数函数的性质，图象的运用，属于中档题，对图象要求较高．
16．设{an}是公比为q（q≠1），首项为a的等比数列，Sn是其前n项和，则点（Sn，Sn+1）（ ）
A．一定在直线y=qx﹣a上 B．一定在直线y=ax+q上
C．一定在直线y=ax﹣q上 D．一定在直线y=qx+a上
【考点】数列的求和．
【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由于Sn+1﹣qSn=﹣q=a，即可得出．
【解答】解：∵Sn+1﹣qSn=﹣q=a，
∴Sn+1=qSn+a，
∴点（Sn，Sn+1）一定在直线y=qx+a上．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．在，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列
B．b，a，c依次成等差数列
C．a，c，b依次成等差数列
D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列
【考点】数列与三角函数的综合．
【专题】计算题．
【分析】根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简便可得出a+c=2b，即可求出a、b、c 关系．
【解答】解：设R是三角形ABC外接圆半径，
∵acos2+ccos2=b，
∴+=b，
即a+acosC+c+ccosA=3b，
即a+c+（acosC+ccosA）=3b
即a+c+（acosC+ccosA）=2b+b
a+c+2R（sinAcosC+sinCcosA）=2b+2RsinB
a+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB
∵A、B、C在三角形ABC中，
所以sin（A+C）=sinB，
所以a+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB
得到a+c=2b，
即a，b，c成等差数列，
故选A．
【点评】本题主要考查学生对三角函数余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差数列性质的熟练掌握，解题时要注重整体思想的运用，望同学们平常多加练习．
18．若关于x的不等式x2+ax﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )a﹣2＞0和2x2+2（2a+1）x+4a2+1＞0的解集依次为A和B，那么使得A=R和B=R至少有一个成立的实数a（ ）
A．可以是R中任何一个数
B．有有限个
C．有无穷多个，但不是R中任何一个数都满足
D．不存在
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】应用题；方程思想；判别式法；不等式的解法及应用．
【分析】根据判别式分别求出a的范围，再根据题意得到答案．
【解答】解：若A=R，则△=a2﹣4（﹣a﹣2）＜0，即a2+4a+8=（a+2）2+4＜0，不成立，故a为空集
若B=R，则△=4（2a+1）2﹣4×2（4a2+1）＜0，即4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2＞0，则a，
因为A=R和B=R至少有一个成立的实数a，C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．
三、解答题（共74分）
19．（理）设虚数z满足（其中a为实数）．
（1）求|z|；
（2）若|z﹣2|=2，求a的值．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意可先令虚数z=x+yi（x，y∈R且y≠0），代入，整理后令虚部为0，解出x2+y2=4（y≠0），即可求得此虚数的模；
（2）由|z﹣2|=2可得（x﹣2）2+y2=4，与（1）的结论方程x2+y2=4（y≠0）联立，解此方程组，即可得到复数z，代入即可解出a的值
【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R且y≠0）（2分）
则
∴（4分）
∴x2+y2=4（y≠0），即|z|=2； （6分）
又|z﹣2|=2得 （x﹣2）2+y2=4，与x2+y2=4（y≠0）联立
解得或
∴（10分）
∴a==2 （12分）
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数的乘法，求复数的模，复数求模公式，解题的关键是用待定系数法设出复数的代数形式，以及理解虚数z满足（其中a为实数），得出虚部为0，从而得到复数的实部与虚部所满足的方程．本题考查了待定系数法，其特征是所研究的对象性质已知，可根据其性质设出它的解析式．
20．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB=60°
（1）求A1C与平面ABCD所成的角的大小；
（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
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【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】（1）由A1A⊥平面ABCD，A是垂足，得∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，由此能求出A1C与平面ABCD所成的角的大小．
（2）由A1C1∥AC，得∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，由此能求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
【解答】解：（1）设AB=1，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB=60°，
∴AB1=2，BB1=，AC==，
∵A1A⊥平面ABCD，A是垂足，
∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，
∵tan∠A1CA===，
∴∠A1CA=arctan．
∴A1C与平面ABCD所成的角的大小为．
（2）∵A1C1∥AC，∴∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，
∵AB1=B1C=2，AC=，
∴cos∠B1CA===，
∴∠B1CA=arccos．
∴异面直线B1C与A1C1所成角的大小为arccos．
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【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．已知函数的反函数为f﹣1（x）
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）解关于x的不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）．
【考点】反函数；函数单调性的判断与证明．
【专题】证明题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）由已知可得函数的定义域为：（1，+∞），利用定义法，可证得函数f（x）在（1，+∞）为减函数；
（2）由已知可得f﹣1（x）=f（ ( http: / / www.21cnjy.com )x），故不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）可化为：f（x2﹣2）＜f（x），结合（1）中函数的单调性和定义域，可得答案．
【解答】解：（1）由a﹣ax＞0，0＜a＜1得：x＞1，
故函数的定义域为：（1，+∞），
函数f（x）在（1，+∞）为减函数，理由如下：
任取x2＞x1＞1，
则＞0，＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）=﹣==＜loga1=0，
∴f（x2）＜f（x1），
即函数f（x）在（1，+∞）为减函数，
（2）由已知可得f﹣1（x）=f（x），
故不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）可化为：f（x2﹣2）＜f（x）．
即x2﹣2＞x＞1，
解得：x＞2
【点评】本题考查的知识点是反函数，函数的单调性的判断与证明，函数单调性的应用，二次不等式的解法，难度中档．
22．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量且x1＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c
（1）求xn+1与xn的关系式
（2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求x1，a，b，c所应满足的条件
（3）设a=2，c=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，则捕捞强度b的最大允许值是多少？并说明理由．
【考点】数列与函数的综合．
【专题】转化思想；归纳法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到xn+1与xn的关系式；
（2）每年年初鱼群的总量保持不变就是xn恒等 ( http: / / www.21cnjy.com )于x1，转化为xn+1﹣xn=0恒成立，再利用（1）的结论，就可找到x1，a，b，c所满足的条件；
（3）先利用（1）的结论找 ( http: / / www.21cnjy.com )到关于xn和b的不等式，再利用x1∈（0，2），求出b的取值范围以及b的最大允许值，最后在用数学归纳法进行证明即可
【解答】解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn2，
因此xn+1﹣xn=axn﹣bxn﹣cxn2，n∈N*．（*）
即xn+1=xn（a﹣b+1﹣cxn），n∈N*．（**）
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，
从而由（*）式得xn（a﹣b﹣cxn）恒等于0，n∈N*，
所以a﹣b﹣x1=0．即x1=．
因为x1＞0，所以a＞b．
猜测：当且仅当a＞b，且x1=．每年年初鱼群的总量保持不变．
（3）若b的值使得xn＞0，n∈N*
由xn+1=xn（3﹣b﹣xn），n∈N*，知
0＜xn＜3﹣b，n∈N*，特别地，有0＜x1＜3﹣b．即0＜b＜3﹣x1．
而x1∈（0，2），所以b∈（0，1]．
由此猜测b的最大允许值是1．
下证当x1∈（0，2），b=1时，都有xn∈（0，2），n∈N*，
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即xk∈（0，2），
则当n=k+1时，xk+1=xk（2﹣xk）＞0．
又因为xk+1=xk（2﹣xk）=﹣（xk﹣1）2+1≤1＜2，
所以xk+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈（0，2）．
综上所述，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，
则捕捞强度b的最大允许值是1．
【点评】本题是对数列、函数、数学归纳法等知识的综合考查，在作数列方面的应用题时，一定要认真真审题，仔细解答，避免错误．
23．已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x） f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立
（1）判断函数是否属于集合M
（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．
（3）若定义域为R的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．
【考点】反函数；函数的值域．
【专题】证明题；存在型；归纳猜想型；反证法；函数的性质及应用；推理和证明．
【分析】（1）根据已知中集合M的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；
（2）假定∈M，求出相应的a，b，t值，得到矛盾，可得答案．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域
【解答】解：（1）当f（x）=x时，f（a+x） f（a﹣x）=（a+x） （a﹣x）=a2﹣x2，
其值不为常数，
故f1（x）=x M，
当f（x）=3x时，f（a+x） f（a﹣x）=3a+x 3a﹣x=32a，
当a=0时，b=1，
故存在实数对（0，1），使得f（0+x） f（0﹣x）=1对定义域内任意实数x都成立，
故∈M；
（2）若函数具有反函数f﹣1（x），且∈M，
则f（a+x） f（a﹣x）= ==b，
则，解得：，
此时f（x）=1（x≠﹣1），不存在反函数，
故不存在实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M．
（3）函数f（x）∈M，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），
于是f（x） f（﹣x）=1，f（1+x） f（1﹣x）=4，
用x﹣1f替换f（1+x） f（1﹣x）=4中x得：f（x）f（2﹣x）=4，
当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，f（x）=∈[2，4]，
∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．
又由f（x） f（﹣x）=1得：f（x）=，
故=，即4f（﹣x）=f（2﹣x），
即f（2+x）=4f（x）．（16分）
∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，
x∈[4，8]时，f（x）∈[16，64]，
…
依此类推可知 x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，
故x∈[2014，2016]时，f（x）∈[22014，22016]，
综上所述，x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，22016]，
x∈[﹣2016，0]时，f（x）=∈[2﹣2016，1]，
综上可知当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域为[2﹣2016，22016]．
【点评】本题考查理解题中的新定义、判断 ( http: / / www.21cnjy.com )函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1．若（1﹣ax）5的展开式中含有x3的系数为﹣80，则实数a= ．
2．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则这个圆锥的体积为 ．
3．是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的 条件．
4．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同．从中取出3个球，那么这三个球的颜色不完全一样的概率为 ．
5．关于x的不等式的解集为 ．
6．函数f（x）=cos2x+sinx在区间上的最小值是 ．
7．已知向量=（，1），是不平行于x轴的单位向量，且，则b= ．
8．数列{an}满足，则= ．
9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m α，n∥α，则m∥n．
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n．
③若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
④若m∥α，n∥α，则m∥n．
其中正确的命题序号是 ．
10．如图，将正方形剪去两个底角为15° ( http: / / www.21cnjy.com )的等腰三角形CDE和CBF，然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
11．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）在定义域R上有四个单调区间，则实数a，b，c应满足的条件为 ．
12．函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是 ．
13．已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是 ．
14．函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为 ．
二、选择题.（每小题5分，共20分）
15．若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ）
A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．0＜a＜1且b＜0
16．设{an}是公比为q（q≠1），首项为a的等比数列，Sn是其前n项和，则点（Sn，Sn+1）（ ）
A．一定在直线y=qx﹣a上 B．一定在直线y=ax+q上
C．一定在直线y=ax﹣q上 D．一定在直线y=qx+a上
17．在，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列
B．b，a，c依次成等差数列
C．a，c，b依次成等差数列
D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列
18．若关于x的不等式x2+ax﹣a﹣2＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0和2x2+2（2a+1）x+4a2+1＞0的解集依次为A和B，那么使得A=R和B=R至少有一个成立的实数a（ ）
A．可以是R中任何一个数
B．有有限个
C．有无穷多个，但不是R中任何一个数都满足
D．不存在
三、解答题（共74分）
19．（理）设虚数z满足（其中a为实数）．
（1）求|z|；
（2）若|z﹣2|=2，求a的值．
20．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB=60°
（1）求A1C与平面ABCD所成的角的大小；
（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．已知函数的反函数为f﹣1（x）
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）解关于x的不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）．
22．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量且x1＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c
（1）求xn+1与xn的关系式
（2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求x1，a，b，c所应满足的条件
（3）设a=2，c=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，则捕捞强度b的最大允许值是多少？并说明理由．
23．已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x） f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立
（1）判断函数是否属于集合M
（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．
（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M ( http: / / www.21cnjy.com )，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．
2015-2016学年上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1．若（1﹣ax）5的展开式中含有x3的系数为﹣80，则实数a= 2 ．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数等于﹣80，求得实数a的值．
【解答】解：（1﹣ax）5的展开式的通项公式为 Tr+1= （﹣a）r xr，令r=3，可得它的展开式中含有x3的系数为10 （﹣a3）=﹣80，
求得实数a=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
2．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则这个圆锥的体积为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离．
【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr=×18，
解得r=12．
故圆锥的高h==，
∴圆锥的体积V=πr2h=288，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计 ( http: / / www.21cnjy.com )算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
3．是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的 充要条 条件．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数，
则f（﹣x）=f（x），
即ln（e﹣x+1）﹣ax=ln（ex+1）+ax，
即ln（+1）﹣ln（ex+1）=2ax，
即ln（）﹣ln（ex+1）=2ax，
即ln（ex+1）﹣lnex﹣ln（ex+1）=2ax，
即﹣x=2ax，
即2a=﹣1，则，
即是函数f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数的充要条件，
故答案为：充要．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键．
4．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同．从中取出3个球，那么这三个球的颜色不完全一样的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】集合思想；数学模型法；概率与统计．
【分析】由排列组合的知识可得总的取法种数和颜色完全一样的取法种数，由概率公式可得．
【解答】解：从5个白球和3个黑球中任取3个共=56种取法，
其中三个球的颜色完全一样的有+=11种方法，
故所求概率P==，
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．
5．关于x的不等式的解集为 （﹣∞，﹣1） ．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．
【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解．
【解答】解：由，得
，解得x．
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题．
6．函数f（x）=cos2x+sinx在区间上的最小值是 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】化余弦为正弦，然后令sinx=t换元，利用x的范围求得t的范围，配方后求得函数最小值．
【解答】解：f（x）=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1．
令sinx=t，
∵x∈，∴t=sinx∈[]，
则y=，t∈[]，
当t=﹣时，．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数最值的求法，考查了利用换元法求二次函数的最值，是基础题．
7．已知向量=（，1），是不平行于x轴的单位向量，且，则b= ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】利用列方程，解出向量的坐标
【解答】解；设，则由b是不平行于x轴的单位向量得到①
又得到
由①②解出x=，y=
故答案为（）
【点评】本题考查数量积计算和单位向量概念，另外还考查学生的解方程的能力．
8．数列{an}满足，则= ．
【考点】数列的极限．
【专题】计算题；极限思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】可以判断出数列{an+an+1}是以为首先，为公比的等比数列，从而可以由等比数列的前n项和公式求该数列的前n项和，从而可以得到= ( http: / / www.21cnjy.com )，而=，这样便可求出．
【解答】解：根据条件，；
∴；
∴数列{an+an+1}是以为首先，为公比的等比数列；
∴=
=
=
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
∴．
故答案为：．
【点评】考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的概念及其计算，清楚是本题求解的关键．
9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m α，n∥α，则m∥n．
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n．
③若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
④若m∥α，n∥α，则m∥n．
其中正确的命题序号是 ②③ ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】m α，n∥α，则m∥n或m与 ( http: / / www.21cnjy.com )n是异面直线；若m⊥α，则m垂直于α中所有的直线，n∥α，则n平行于α中的一条直线l，故m⊥l，m⊥n；若m⊥α，m⊥β，则α∥β；m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交，或m，n异面．
【解答】解：m α，n∥α，则m∥n或m与n是异面直线，故①不正确；
若m⊥α，则m垂直于α中所有的直线，n∥α，则n平行于α中的一条直线l，
∴m⊥l，故m⊥n．故②正确；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；
m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交，或m，n异面．故④不正确，
综上可知②③正确，
故答案为：②③．
【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，包含两条直线和两个平面，这种题目需要认真分析，考虑条件中所给的容易忽略的知识，是一个基础题．
10．如图，将正方形剪去两个底角为15°的等腰三角形CDE和CBF，然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】作出正三棱锥的侧面与底面所成的二面角，转化为三角形求解，即可得结论．
【解答】解：由题意，作AO⊥平面BEF，垂足为O作BG⊥EF，连接AG，则O在BG上，OG⊥EF，AG⊥EF，
∴∠AGO为正三棱锥的侧面与底面所成的二面角．
设AB=a，BE=BF=EF=b，
则，a=2bcos15°，BG=，OG=，AG=
∴cos∠AGO== ( http: / / www.21cnjy.com )
====．
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出面面角的平面角是解题的关键，注意三角函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．
11．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）在定义域R上有四个单调区间，则实数a，b，c应满足的条件为 a，b异号 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由f（x）的解析式显然得到f（x）为偶函数，从而x≥0时，f（x）有两个单调区间，这样便可得到．
【解答】解：f（x）为偶函数，∴x≥0时，f（x）=ax2+bx+c有两个单调区间；
∴对称轴x=；
∴；
∴a，b，c满足的条件为a，b异号．
故答案为：a，b异号．
【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，二次函数的对称轴，要熟悉二次函数图象．
12．函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是 ．
【考点】对数函数的值域与最值；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】首先把恒成立问题转化为：在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，再通过分离参数转化为：在[2，+∞）上恒成立，设，利用导数求出g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，即可．
【解答】解：因为函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，
所以在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，
即：在[2，+∞）上恒成立，
令，
因为x≥2，所以，
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以：当x=2时，g（x）的最小值为g（2）=，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查函数中的恒成立问题，用到了分离参数法，做恒成立问题关键在转化为参数与某个函数的最值比较大小．
13．已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是 [，1）∪（1，2] ．
【考点】函数恒成立问题；幂函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】由：构造函数，由函数图象与性质可以得出结论．
【解答】解：（1）由，构造函数：，a＞0，且a≠1
（2）由函数图象知，当x∈（﹣1，1）时，
g（x）的图象在h（x）的图象下方．
如图：①当a＞1时，有h（﹣1）≥g（﹣1），
即，得a≤2，即1＜a≤2；
②当，得即
有①、②知：实数a的取值范围是[，1）∪（1，2]．
答案为[，1）∪（1，2]．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题借助二次函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，考查函数的恒成立问题．合理构造函数，用数形结合的方法容易解答．
14．函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为 ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】新定义．
【分析】根据三角函数的面积的定义，利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积．
【解答】解：对于函数y=sin3x而言，n=3，
∴函数y=sin3x在[0，]上的面积为：，
将y=sin3x向右平移得到y=sin（3x﹣π）=sin3（x﹣）的图象，此时y=sin（3x﹣π）在上的面积为，
将y=sin（3x﹣π）向上平移一个单位得到y=sin（3x﹣π）+1，此时函数在上上的面积为，
故答案为：．
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【点评】本题主要考查曲线面积的求法，根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系是解决本题的关键．
二、选择题.（每小题5分，共20分）
15．若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ）
A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．0＜a＜1且b＜0
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0，即可求解．
【解答】解：∵函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0，
即a＞1，b＞0，
故选：B
【点评】本题考查了指数函数的性质，图象的运用，属于中档题，对图象要求较高．
16．设{an}是公比为q（q≠1），首项为a的等比数列，Sn是其前n项和，则点（Sn，Sn+1）（ ）
A．一定在直线y=qx﹣a上 B．一定在直线y=ax+q上
C．一定在直线y=ax﹣q上 D．一定在直线y=qx+a上
【考点】数列的求和．
【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由于Sn+1﹣qSn=﹣q=a，即可得出．
【解答】解：∵Sn+1﹣qSn=﹣q=a，
∴Sn+1=qSn+a，
∴点（Sn，Sn+1）一定在直线y=qx+a上．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．在，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列
B．b，a，c依次成等差数列
C．a，c，b依次成等差数列
D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列
【考点】数列与三角函数的综合．
【专题】计算题．
【分析】根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简便可得出a+c=2b，即可求出a、b、c 关系．
【解答】解：设R是三角形ABC外接圆半径，
∵acos2+ccos2=b，
∴+=b，
即a+acosC+c+ccosA=3b，
即a+c+（acosC+ccosA）=3b
即a+c+（acosC+ccosA）=2b+b
a+c+2R（sinAcosC+sinCcosA）=2b+2RsinB
a+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB
∵A、B、C在三角形ABC中，
所以sin（A+C）=sinB，
所以a+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB
得到a+c=2b，
即a，b，c成等差数列，
故选A．
【点评】本题主要考查学生对三角函数余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差数列性质的熟练掌握，解题时要注重整体思想的运用，望同学们平常多加练习．
18．若关于x的不等式x2+ax﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )a﹣2＞0和2x2+2（2a+1）x+4a2+1＞0的解集依次为A和B，那么使得A=R和B=R至少有一个成立的实数a（ ）
A．可以是R中任何一个数
B．有有限个
C．有无穷多个，但不是R中任何一个数都满足
D．不存在
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】应用题；方程思想；判别式法；不等式的解法及应用．
【分析】根据判别式分别求出a的范围，再根据题意得到答案．
【解答】解：若A=R，则△=a2﹣4（﹣a﹣2）＜0，即a2+4a+8=（a+2）2+4＜0，不成立，故a为空集
若B=R，则△=4（2a+1）2﹣4×2（4a2+1）＜0，即4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2＞0，则a，
因为A=R和B=R至少有一个成立的实数a，C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．
三、解答题（共74分）
19．（理）设虚数z满足（其中a为实数）．
（1）求|z|；
（2）若|z﹣2|=2，求a的值．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意可先令虚数z=x+yi（x，y∈R且y≠0），代入，整理后令虚部为0，解出x2+y2=4（y≠0），即可求得此虚数的模；
（2）由|z﹣2|=2可得（x﹣2）2+y2=4，与（1）的结论方程x2+y2=4（y≠0）联立，解此方程组，即可得到复数z，代入即可解出a的值
【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R且y≠0）（2分）
则
∴（4分）
∴x2+y2=4（y≠0），即|z|=2； （6分）
又|z﹣2|=2得 （x﹣2）2+y2=4，与x2+y2=4（y≠0）联立
解得或
∴（10分）
∴a==2 （12分）
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数的乘法，求复数的模，复数求模公式，解题的关键是用待定系数法设出复数的代数形式，以及理解虚数z满足（其中a为实数），得出虚部为0，从而得到复数的实部与虚部所满足的方程．本题考查了待定系数法，其特征是所研究的对象性质已知，可根据其性质设出它的解析式．
20．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB=60°
（1）求A1C与平面ABCD所成的角的大小；
（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
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【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】（1）由A1A⊥平面ABCD，A是垂足，得∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，由此能求出A1C与平面ABCD所成的角的大小．
（2）由A1C1∥AC，得∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，由此能求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
【解答】解：（1）设AB=1，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB=60°，
∴AB1=2，BB1=，AC==，
∵A1A⊥平面ABCD，A是垂足，
∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，
∵tan∠A1CA===，
∴∠A1CA=arctan．
∴A1C与平面ABCD所成的角的大小为．
（2）∵A1C1∥AC，∴∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，
∵AB1=B1C=2，AC=，
∴cos∠B1CA===，
∴∠B1CA=arccos．
∴异面直线B1C与A1C1所成角的大小为arccos．
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【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．已知函数的反函数为f﹣1（x）
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）解关于x的不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）．
【考点】反函数；函数单调性的判断与证明．
【专题】证明题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）由已知可得函数的定义域为：（1，+∞），利用定义法，可证得函数f（x）在（1，+∞）为减函数；
（2）由已知可得f﹣1（x）=f（ ( http: / / www.21cnjy.com )x），故不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）可化为：f（x2﹣2）＜f（x），结合（1）中函数的单调性和定义域，可得答案．
【解答】解：（1）由a﹣ax＞0，0＜a＜1得：x＞1，
故函数的定义域为：（1，+∞），
函数f（x）在（1，+∞）为减函数，理由如下：
任取x2＞x1＞1，
则＞0，＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）=﹣==＜loga1=0，
∴f（x2）＜f（x1），
即函数f（x）在（1，+∞）为减函数，
（2）由已知可得f﹣1（x）=f（x），
故不等式f﹣1（x2﹣2）＜f（x）可化为：f（x2﹣2）＜f（x）．
即x2﹣2＞x＞1，
解得：x＞2
【点评】本题考查的知识点是反函数，函数的单调性的判断与证明，函数单调性的应用，二次不等式的解法，难度中档．
22．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量且x1＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c
（1）求xn+1与xn的关系式
（2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求x1，a，b，c所应满足的条件
（3）设a=2，c=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，则捕捞强度b的最大允许值是多少？并说明理由．
【考点】数列与函数的综合．
【专题】转化思想；归纳法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到xn+1与xn的关系式；
（2）每年年初鱼群的总量保持不变就是xn恒等 ( http: / / www.21cnjy.com )于x1，转化为xn+1﹣xn=0恒成立，再利用（1）的结论，就可找到x1，a，b，c所满足的条件；
（3）先利用（1）的结论找 ( http: / / www.21cnjy.com )到关于xn和b的不等式，再利用x1∈（0，2），求出b的取值范围以及b的最大允许值，最后在用数学归纳法进行证明即可
【解答】解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn2，
因此xn+1﹣xn=axn﹣bxn﹣cxn2，n∈N*．（*）
即xn+1=xn（a﹣b+1﹣cxn），n∈N*．（**）
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，
从而由（*）式得xn（a﹣b﹣cxn）恒等于0，n∈N*，
所以a﹣b﹣x1=0．即x1=．
因为x1＞0，所以a＞b．
猜测：当且仅当a＞b，且x1=．每年年初鱼群的总量保持不变．
（3）若b的值使得xn＞0，n∈N*
由xn+1=xn（3﹣b﹣xn），n∈N*，知
0＜xn＜3﹣b，n∈N*，特别地，有0＜x1＜3﹣b．即0＜b＜3﹣x1．
而x1∈（0，2），所以b∈（0，1]．
由此猜测b的最大允许值是1．
下证当x1∈（0，2），b=1时，都有xn∈（0，2），n∈N*，
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即xk∈（0，2），
则当n=k+1时，xk+1=xk（2﹣xk）＞0．
又因为xk+1=xk（2﹣xk）=﹣（xk﹣1）2+1≤1＜2，
所以xk+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈（0，2）．
综上所述，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，
则捕捞强度b的最大允许值是1．
【点评】本题是对数列、函数、数学归纳法等知识的综合考查，在作数列方面的应用题时，一定要认真真审题，仔细解答，避免错误．
23．已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x） f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立
（1）判断函数是否属于集合M
（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．
（3）若定义域为R的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．
【考点】反函数；函数的值域．
【专题】证明题；存在型；归纳猜想型；反证法；函数的性质及应用；推理和证明．
【分析】（1）根据已知中集合M的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；
（2）假定∈M，求出相应的a，b，t值，得到矛盾，可得答案．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域
【解答】解：（1）当f（x）=x时，f（a+x） f（a﹣x）=（a+x） （a﹣x）=a2﹣x2，
其值不为常数，
故f1（x）=x M，
当f（x）=3x时，f（a+x） f（a﹣x）=3a+x 3a﹣x=32a，
当a=0时，b=1，
故存在实数对（0，1），使得f（0+x） f（0﹣x）=1对定义域内任意实数x都成立，
故∈M；
（2）若函数具有反函数f﹣1（x），且∈M，
则f（a+x） f（a﹣x）= ==b，
则，解得：，
此时f（x）=1（x≠﹣1），不存在反函数，
故不存在实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M．
（3）函数f（x）∈M，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），
于是f（x） f（﹣x）=1，f（1+x） f（1﹣x）=4，
用x﹣1f替换f（1+x） f（1﹣x）=4中x得：f（x）f（2﹣x）=4，
当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，f（x）=∈[2，4]，
∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．
又由f（x） f（﹣x）=1得：f（x）=，
故=，即4f（﹣x）=f（2﹣x），
即f（2+x）=4f（x）．（16分）
∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，
x∈[4，8]时，f（x）∈[16，64]，
…
依此类推可知 x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，
故x∈[2014，2016]时，f（x）∈[22014，22016]，
综上所述，x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，22016]，
x∈[﹣2016，0]时，f（x）=∈[2﹣2016，1]，
综上可知当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域为[2﹣2016，22016]．
【点评】本题考查理解题中的新定义、判断 ( http: / / www.21cnjy.com )函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．
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