8.6 直线与平面垂直的 教学设计

教学课题：《直线与平面垂直》教学设计
学科：高中数学 年级：高一 时长：45分钟1课时
一、教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册“(人教A版)第八章”立体几何初步“，本节课主要学习直线与平面垂直的判定定理及其应用.线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键.同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础.因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用.本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能力.
教学目标与核心素养
课程目标 学科素养
A.了解直线与平面垂直的定义； 1.数学抽象：结合生活实际，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系；
B.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直； 2.逻辑推理:判断直线与平面垂直；
C.能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明. 3.直观想象:直线与平面垂直的定义.
三、教学重、难点
1教学重点:对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解，以及简单应用；
2.教学难点:探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想，并会用其判断直线与平面垂直.
四、教学方式
启发式与试验探究式相结合
五、课前准备
多媒体、自制课件、实物模型
六、教学过程
1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象 【时间分配】4分钟
问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？如何判定直线是否在平面内？如何判定直线与平面平行？
师生活动：教师提出问题：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？如何判定直线是否在平面内？如何判定直线与平面平行？
学生回答：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交.如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线平行于此平面.
设计意图：此问基于学生已有的数学现实、通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”.
问题2：直线于平面相交的最特殊的情况是什么？
师生活动：教师提出问题：直线与平面相交的最特殊的情况是什么？
学生回答：垂直.
设计意图：此问题把我们前面学习的知识，和今天的内容联系起来，使学生容易接受.
2.提炼直线与平面垂直的定义【时间分配】6分钟
问题3：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图中旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那么什么叫做直线与平面垂直呢？能否把真观的形象数学化“用确切的数学语言刻画直线与平面垂直.
师生活动：教师展示生活中给我们以直线与平面重直的实例，提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示.
设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察、让学生直观感知直线与平面相交中一种特例，直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义.
问题4.结合对下列问题的思考、试着给出直线和平面垂直的定义
(1)阳光下旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系如何？
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动，而旗杆AB与影子BC的位置是否会发生改变
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线的位置关系如何 依据是什么？
师生活动:教师提出问题(可以借助教具呈现出旗杆影子随时间变化的位置变化)，学生容易得出旗杆所在直线与其影了所在直线保持垂直，这也就说明旗秆所在直线和地面所在平面内的无数条直线垂直:对于直线AB与地面上所有直线都垂直，需要将其中的“所有直线”转化为“任意直线”，教师可以引导学生结合头脑中已有的“任意一个数”“任意个人” 等来理解其中“任意”与“所有”的关系，由于对于地面上的任意一条直线，总能找到旗杆的一个影子与之平行，从而其与旗杆所在直线垂直.这样，就可以归纳出直线与平面垂直的定义.
设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直.第(3)问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直.在这里,主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念.学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化.通过从“具体形象——几何图形——数学语言” 的过程，让学生体会定义的合理性.
3.探究直线与平面垂直的判定定理创设情境猜想定理【时间分配】10分钟
思考：请学生拿着做好的模型，简单介绍线面垂直在我国古代的重要应用——“日晷”.日晷的晷针与晷面是什么位置关系呢？我们可以想一个简单易行的方法检验一下吗？
设计意图：通过我国古代用来计时的一种仪器——日晷，让学生体会数学的应用价值，引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理、猜想判定定理.
问题5：根据定义，判断直线与平面垂直，需要论证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直.类比平面与平面平行的判定理，有没有判定直线与平面垂直的简单、易行的方法
师生活动：教师提出问题，引导学生进行如下的探究活动，请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验.如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．
问题6：1、折痕AD与桌面垂直吗 2、如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直，组织学生动手操作、探究、确认.
设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同-直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着.即AD与桌面垂直.如图2、其它置都不能使AD与桌面垂直.
问题7：在你翻折纸片的过程中、纸片的形状发生了变化.这是变的面.那么不变的一面是什么呢？可从线与线的关系考虑.如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线、把桌面抽象为平面，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么、对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作，将纸片绕直线AD、点D始终在桌面内、转动、使得直线CD、BD不在桌面所在，平面内.问.直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗，、此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线，
设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词，平面内两条相交直线.
追问:为什么一条直线和个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线式和这个平面垂直.
师生活动:教师引导学生从基本事实的推论2和平面问量基本定理出发，思考两条相交直线可以确定一个平面，并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线，因此，一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面，从而对直线和平面重直的判定定理进步作出解释.
问题8:试分别用图形语言和符号语言表示直线与平面垂直的判定定理.
设计意图:实现图形语言、符号语言、文字语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要，而举例说明它的应用则有助于学生更好地理解判定定理.
问题9:在判定定理中，直线一定要过两条相交直线的交点吗？
设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直、取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直、至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.这是无关紧要的.
问题10：（1）与直线与平面垂直的定义相比你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里？（2）觉得定义与判定定理的共同点是什么？
设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较、让学生体会“无限转化为有限“的数学思想.通过寻找定义与判定定理的共同点、感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.
思考：现在你找到检验晷针与晷面垂直的好方法了吗？
设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，对该问题可引导学生用三角形纸片来验证，从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解.
4.直线与平面垂直的定义及判定定理的应用 【时间分配】20分钟
练习1：
师生活动：引导学生分组进行讨论回答，教师总结归纳.
设计意图：使学生进一步认识和理解直线与平面垂直的定义以及判定定理，明确定义可以双向使用.
例1 ：
师生活动：请学生自主思考并解决问题.
设计意图：使学生认识到利用判定定理证明直线与平面垂直的优越性.
例2 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
追问1 你能根据条件与结论画出图形，写出已知、求证？
追问2 结合所画的图形，你认为证明此问题的思路是什么？
师生活动:教师要求学生写出已知、求证，并与学生共同分析证明思路:根据直线与平面垂直的判定定理知，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造出平面内的两条相交直线，再利用“两条平行直线中的一条垂直某一直线，则另条也垂直于这一条直线”进行转化.教师可请同学们叙述证明过程，教师反馈，共同完成证明.
追问3 你还有不同的证明方法吗？
师生活动:学生尝试用直线与平面垂直的定义证明这个例题，然后交流.
设计意图:通过例题，巩固直线与平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键，通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明的不同证法，让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的灵活性.在这个过程中使学生认识到证明直线与平面垂直一般有两种方法.一种方法是利用直线与平面垂直的定义直接证明，一种方法是利用直线与平面垂直的判定定理证明.
练习2
师生活动：请同学们独立思考完成，让一个学生板书在黑板上，教师总结反馈，师生共同交流.
设计意图：使学生进一步熟练运用直线与平面垂直的定义以及判定定理证明线面垂直问题.同时要注意关注直线与平面垂直定义的双向性使用.
5.归纳小结 【时间分配】3分钟
教师与学生起回顾本节课所学的主要内容：
（1）知识收获：直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的判定定理；
垂直关系的互相转化：线线垂直→线面垂直.
（2）方法收获：判定线面垂直的两种方法1.线面垂直的定义；2.线面垂直的判定定理.
（3）数学思想：空间问题→平面问题；转化、降维思想.
设计意图:通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法.
作业布置 【时间分配】2分钟
作业本：习题8.6 第5题； 2.练习册
7.板书设计
七、教学特色与反思
《直线与平面垂直》属于空间与图形邻域的知识。直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容。线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，它在整个教材中起着承上启下的作用。本节课采用以“启发—讲述式”教学方法为主，以“直观演示法”为辅，设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心，提高课堂教学质量为目标的课堂结构。
本节课也存在这两点不足：一是要充分给予学生讨论和自主回答问题的时间，不要过于一味追求课程内容的完成度，二是在问题设置上不要求多，可以通过学习任务单的方式进行预习，不能力求面面俱到。